Файл: Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие.pdf

Аналогично,

Р (СВ) = Р(С) — Р (ВС) = 0,02.

Теперь определены вероятности всех элементарных событий (см. рис. 38). Остальные события поля можно представить в виде суммы элементарных событий и, используя свойство 3 вероятности события поля, определить их вероятности. Можно также определить вероятности событий и через вероятности противоположных собы­

тий. Например, вероятность ВС — деталь не имеет двух типов брака — определяется так: Р (ВС) = 1 — Р (ВС) = 0,99. Веро­

ятность события ВС + ВС — деталь имеет только один тип брака— равна:

Р (В С + ВС) = Р (ВС) + Р (ВС) = 0,01 + 0,02 = 0,03.

Пример 9. Электрическая цепь состоит из элементов ах и а2, соединенных

—0,6 = 0,9.

2.Ток пойдет только через элемент ах, если он исправен, а эле­ мент а2 не исправен, т. е. В = ЛХЛ2. Заметим, что событие Лх можно

представить в виде суммы двух несовместных событий: ЛХЛ2 и А гА 2. Поэтому

Р (Лх) = Р (АгА 2 + А , А 2) = Р (АгА,) + Р (ЛХЛ2).

Откуда

Р ( В ) = Р ( , М 2) = Р (Лх) - Р (ЛХЛ2) = 0,8 - 0,6 = 0,2.

Иногда из соображений симметрии удается установить равен­ ство вероятностей некоторых событий, что позволяет сначала вы­ числить эти вероятности, а затем по ним вычислить вероятности всех событий поля. На этом основаны классическое' и геометриче­ ское определения вероятности.

Классическое определение вероятности. Предположение 1. Пред­ положим, что пространство элементарных событий состоит из ко­

87

Используя свойства вероятности и равенство (4.20), получим:

Всякое событие А поля F является суммой некоторого числа тА элементарных событий. Вероятность события А равна сумме тА вероятностей элементарных событий составляющих А.

Поскольку вероятности всех этих событий одинаковы и равны р, то Р (А) = тАр, или в виду (4.21):

Равенство (4.22) было исторически первым определением веро­ ятности. Его называют классическим определением вероятности.

Иногда в литературе по теории вероятности, если выполняется предположение 1, элементарные события называются случаями или шансами, а события, являющиеся частными случаями, события Л, называются благоприятствующими А. Поэтому классическое оп­ ределение вероятности, основанное на равенстве (4.22), словестно формулируется так: вероятностью события А называется отноше­ ние тА— числа случаев, благоприятствующих событию А , к общему числу всех случаев п.

В примере 1, если монета симметрична, Р (А) = Р (В) =

в примере 5 случаями (равновероятными элементарными собы­ тиями) являются события Ст, т = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Общее число слу­ чаев равно 6. Случаев, благоприятствующих событию А («выпало

3 _ 1

четное число очков») — три: С 2, С4 и С6. Поэтому Р (Л)

~6 ~ 3

Геометрическое определение вероятностей. Если количество элементарных событий бесконечно, то классическое определение вероятности не применимо. Действительно, из предположения об одинаковой вероятности каждого элементарного события в случае бесконечного числа событий следует, что вероятности каждого эле­ ментарного события и каждого события Л, которому благоприятст­ вует конечное число элементарных событий, равны нулю, и фор­ мулу (4.22) нельзя использовать для определения вероятности всех событий поля. Однако в тех случаях, когда пространство элемен­ тарных событий изображается, как в примере 7, областью на пря­ мой, плоскости или в пространстве, имеющей соответственно ко­ нечную длину, площадь или объем, соображения симметрии поз-

88

воляют построить определение вероятности на геометрической ос­ нове.

Пусть, для определенности, пространство элементарных собы­ тий изображается на плоскости, ограниченной областью Q, имею­ щей площадь 5 (Q). Поле событий F состоит из всех событий, изо­ бражающихся теми частями области Q, которые имеют площадь. Пусть при этом выполняется следующее предположение.

Предположение 2. Вероятности событий, изображающихся об.

ластями одинаковой площади, равны. Тогда, вероятность Р (Л) каждого события можно определить как отношение площади соот­ ветствующей ему области й л к площади всей области Q:

Функция Р (Л), определенная на поле событий F равенством

функция является единственной функцией, обладающей свойствами I— III и удовлетворяющей предположению 2.

Формула (4.23) обобщается следующим образом:

где v (Пл) и v (П) — меры областей Пл и П, т. е. смотря по обстоя­ тельствам длины, площади, объема и т. п.

Таким образом, можно сформулировать следующее геометриче­ ское определение вероятности. Если пространство элементарных событий изображается областью, имеющей конечную меру, и собы­ тия, изображающиеся областями одинаковой меры, одинаково ве­ роятны, то вероятностью, события А £ F называется отношение меры области, изображающей событие А, к мере всего пространства элементарных событий.

Пример 10 (продолжение, примера 7). Рассматривается прием радистом

в течение промежутка времени [0, Т ] сигналов от двух корреспондентов. Обозначим, как и в примере 7, через х — момент поступления первого сигнала; у — второго сигнала. Событие А — срыв сеанса связи про­ исходит тогда, когда промежуток времени между моментами поступ­ ления сигналов меньше т, т. е. А = {|х—Л<СТ}- Считая, что появле­ ние точки (х , у) в областях квадрата OLMN (рис. 39), имеющих одина­ ковую площадь, одинаково вероятно, определить вероятность собы­

89

Площадь S (OLMN) = Г2, площадь S (OabMcd) равна площади квадрата минус площадь двух треугольников, т. е.

S (OabMcd) = Г 2 — (Т—т)2.

Поэтому

4.8. Некоторые сведения из комбинаторного анализа

При вычислении вероятности события А на основе классического определения, т. е. по формуле (4.22), нужно уметь находить число всех возможных случаев п и число случаев, благоприятствующих А. Эта задача облегчается систематическим применением комбинатор­ ных правил. Некоторые из них приводятся ниже.

нии i-ой строки с /-м столбцом. Таким образом, число всех различ­ ных пар будет равно: п = 1т. Например, в качестве множества эле­ ментов можно взять четыре масти и девять различных значений карт (от шестерки до туза). Каждая карта определяется мастью и значением. В колоде существует 4-9 = 36 таких комбинаций масти

изначения.

2.Если имеется г групп элементов с т1 элементами в первой

Так, если прибор собирается из г узлов и первый узел изготов­ ляется в лг вариантах, второй в л2-вариантах и т. д., то можно соб­ рать п — nxti2 •. . . ■пг различных вариантов прибора.

Размещение п различимых шаров по N различимым ящикам можно рассматривать как выбор одного из N ящиков для каждого

шара. Число всех возможных случаев здесь равно Nn.

3. В статистике множество элементов аъ а2, . . . , ат, о котором хотят составить некоторое суждение, называют генеральной сово­ купностью. Для исследования генеральной совокупности из нее один за другим выбирают г элементов и таким образом получают комбинацию из г элементов, взятых в определенном порядке. Эту комбинацию элементов называют выборкой объема г.

Существуют два способа выбора элементов. Первый — выбор с возвращением. В этом случае, после того, как очередной элемент выбран и обследован, он снова возвращается в генеральную совоку пность и выбор следующего элемента производится опять из всей генеральной совокупности. Число таких выборок равно числу раз­ мещений г различимых шаров по т различимым ящикам: для каж­ дого места в выборке (шара) выбирается один из т элементов генеральной совокупности (ящиков). Таким образом, число различ­

90