Файл: Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие.pdf

когда либо происходит событие А без события В, либо событие В без события А, либо одновременно оба события А и В.

В примере 2 событие Л(- означает, что угадано i номеров в ти­ раже спортлото, D — угадано число номеров кратное трем. Оче­ видно, D = А3 + Л6.

Свойства суммы и произведения событий. Непосредственно из определений следует, что произведение и сумма событий обладают следующими, несколько необычными, свойствами. Для любого со­ бытия А справедливы соотношения:

Сумма и произведение чисел такими свойствами не обладают. Покажем на примере последнего равенства (4.6) как проверяются эти свойства. Чтобы доказать в рассматриваемом случае эквива­ лентность события АВ событию А, заметим следующее: так как со­ бытие А является частью события В, оно обязательно происходит вместе с событием В, следовательно, каждый раз когда происходит событие А одновременно происходит событие АВ, и, наоборот, вся­ кий раз, когда происходит событие АВ, происходит и событие А, так как АВ означает, что одновременно произошли события А я В. Таким образом, убедились, что если A(zB, то АВ и А могут осу­ ществиться только вместе, а это и означает, что они эквивалентны. В примере 3 событие С обозначает, что игрок, получивший пер­ вую карту, получил все карты красной масти, Е обозначает, что первая карта при раздаче оказалась красной масти. Поскольку всякий раз, когда происходит событие С одновременно происходит

и событие Е, то C(ZE и СЕ = С.

Понятия суммы и произведения событий переносятся на любое

событие, состоящее в том, что одновременно осуществляются все события: А ъ Л 2, А3, . . . , Лп__2, Ап_ { и Ап.

В примере 2 событие С (по карточке можно получить выигрыш) является суммой событий D, Л4 и Аь (угадано число номеров крат­ ное трем, угаданы четыре, соответственно пять номеров) С = D + + А4 + Лй. В примере 3 событие АВС означает, что игрок, полу-

77

чивший первую карту, получил все карты красной масти и при этом первой картой был бубновый туз.

Произведение и сумма событий обладают следующими свойствами: 1) переместительным

АВ — «не происходит одновременно А и Б» эквивалентно событию А + В — «по крайней мере одно из событий А или В не происхо­ дит».

4.4.Поле событий. Пространство элементарных событий

Втеории вероятностей при построении математической модели или схемы некоторого опыта рассматривают множество, состоящее из всех событий, которые можно наблюдать в результате этого опыта, достоверного и невозможного событий. Такое множество

называют п о л е м с о б ы т и й . То обстоятельство, что событие А принадлежит полю F, обозначается символом А £ F, где £ знак принадлежности. Строгое, формальное определение поля событий

78

отражает следующие свойства событий, наблюдаемых в результате опыта. Если средства наблюдения позволяют определить, «прои­ зошло или не произошло в результате опыта события Л», то тем самым они позволяют определить «произошло или не произошло

в результате опыта и событие А». Аналогично, если наблюдая ис­ ход опыта можно сказать произошли или нет каждое из событий А и В, то можно сказать произошли или не произошли их сумма и произведение.

Сказанное позволяет дать следующее определение поля событий:

Определение 1. Полем F событий называется множество событий, обладающее следующими свойствами:

1)достоверное событие принадлежит полю: U^F;

2)если А у F, то и А у А;

3) если A ^ F для i = 1, 2, , . . , то и У М ^ Е . i

Соотношение 3 предполагается справедливым как для конеч­ ного набора событий, так и для любой последовательности собы­ тий, принадлежащих полю F.

Замечание. В формальном определении поля событий F не требуется, чтобы невозможное событие Л принадлежало полю F и чтобы произве­ дение принадлежащих полю событий также принадлежало полю F. Эти свойства можно не включать в формальное определение поля, так как они являются следствием свойств 1—3. Действительно, свойство Л£ F

следует из свойств 1 и 2, так как Л = U, а свойство ПА(- £ F, если i

Ai £ К_для г = 1, 2, . . . , следует из свойств 2 и 3, так как

влечет A i^ F и, следовательно, по 3 LM;£.F, но ввиду соотношений i

Пример 6. Пусть опыт состоит в том, что рабочим производятся детали определенного типа. Контролер ОТК может установить, является ли изготовленная деталь стандартной (событие А), является ли причиной брака детали плохое качество материала (событие В), или брак детали произошел по вине рабочего (событие С). Рассматриваемому опыту можно поставить в соответствие поле F, содержащее 16 различных событий:

U — достоверное; Л — невозможное;

А— деталь стандартная;

В— причиной брака детали является плохое качество материала;

С — деталь плохо изготовлена (брак по вине рабочего); А — деталь бракованная;

В — деталь изготовлена из доброкачественного материала;

С — рабочий изготовил деталь хорошо; ВС — деталь изготовлена плохо и из плохого материала;

А+ С — либо деталь стандартная, либо в ее браке виновен ра­

бочий;

А+ В — либо деталь стандартная, либо она изготовлена из пло­ хого материала;

ВС — деталь бракованная исключительно по вине рабочего; ВС — деталь изготовлена хорошо, но из плохого материала;

79

CB -f- СВ — деталь бракованная, но ей присущ только один тип

Исход каждого опыта определяется всеми событиями поля, ко­ торые наблюдаются в результате этого опыта. Два исхода нераз­ личимы, если в каждом из них наблюдаются одни и те же события.

Определение 2. Произведение всех событий поля F, наблюдаю­

щихся в результате исхода единичного опыта, называется элементар­ ным событием, соответствующим этому исходу.

В результате каждого опыта осуществляется одно элементарное событие, являющееся частным случаем всех событий поля, проис­ ходящих одновременно с ним.

Отметим следующие свойства элементарных событий:

1)различные элементарные события несовместны;

2)каждое событие A =F Л поля F можно представить в виде суммы элементарных событий этого поля, являющихся частными случаями события А:

А = U Ei, E id А.

i

В примере 6 элементарными являются события: А — деталь стандартная; ВС — деталь изготовлена хорошо, но из плохого ма­ териала; ВС — деталь изготовлена плохо, но из хорошего материала; ВС —■детали присущи оба типа брака. Любое событие поля яв­ ляется суммой некоторых из перечисленных событий. Так, напри­

мер, В = ВС + ВС.

В примере 2, где рассматривается тираж спортлото, элементар­ ными событиями являются события Л,- (угадано i номеров i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6).

В примере 4 (обслуживание двух станков) элементарными со­ бытиями являются пары неотрицательных чисел (х, у), гдех — мо­ мент, когда требуется, чтобы рабочий обслужил первый станок; у — такой же момент для второго станка.

Множество всех элементарных событий,, отвечающих данному опыту, называют п р о с т р а н с т в о м э л е м е н т а р н ы х с о б ы т и й . Будем обозначать пространство элементарных со­ бытий буквой Q. Событиям поля F можно дать наглядную Геомет­ рическую интерпретацию, например, изобразив каждое элементар­ ное событие точкой (рис. 35). Каждое событие А О F изобразится при этом множеством точек, соответствующих тем элементарным событиям, которые являются частными случаями А. Достоверному событию при таком рассмотрении отвечает все пространство эле­

ментарных событий £2, т. е. все точки. Событие А, противополож­

80