Файл: Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие.pdf

одинаковое количество 35! порядков карт в колоде. Любому варианту сдачи карт, двум первым игрокам, соответствует (12!)3 различных вариантов порядка карт в колоде. В свою очередь каждому из

Cgg различных вариантов сдачи карт игроку, получившему первую

карту, соответствует одинаковое количество 24! 12! вариантов по­ рядка карт в колоде.

4.9. Условные вероятности. Теорема умножения вероятностей

Изменение комплекса условий, характеризующего некоторый опыт (в частности, появление дополнительных условий), вообще го­ воря приводит к изменению вероятностей событий, являющихся результатами этого опыта.

К числу дополнительных условий опыта может относится пред­ положение о том, что некоторое определенное событие В из поля событий F, связанного с опытом, осуществилось. Вероятности, соответствующие событиям поля F при дополнительном условии: «событие В произошло» называются условными ■вероятностями и обозначаются Р (AIB). Символ Р (AIB) читается так: вероятность события А при условии, что имеет место событие В, или кратко: вероятность А при условии В. Вероятности, соответствующие со­ бытиям поля без каких-либо дополнительных условий называют безусловными или полными вероятностями этих событий. Прежде чем дать формальное определение условной вероятности, выясним одно свойство частот событий, вычисленных при указанном допол­ нительном условии.

Пусть проведена серия из п опытов. Выделим из серии те опыты, в которых произошло событие В. Пусть их число равно тв ^>0. Чтобы вычислить частоту события А в выделенных опытах, нужно знать число тех выделенных опытов, в которых произошло событие A. Это число равно тАВ — числу тех опытов их всей серии опытов, в которых одновременно произошли события А я В. Таким образом, частота события А при условии, что имеет место событие В равна

р (А/В) ——— . Разделим числитель и знаменатель на число всех

тв

опытов л. Замечая, что тАв — ц (4 В); тв.. =? р, (В), получим:

пп

(х ( Л /В )= Ь Ш -,

]х(В)

т. е., если частота события В в некоторой серии опытов положи­ тельна, то частота события А в тех опытах, где произошло событие B, равна отношению частоты произведения событий АВ к частоте события В.

Пример 16. Среди испытуемой партии состоящей из 200 электроных трубок 25 трубок оказались йовышенной яркости (событие В). Раньше гаран­ тийного срока из строя вышли (событие А) 28 трубок, 15 из них были

96

повышенной яркости. Вычислить частоту выхода из строя до гаран­ тийного срока электронных трубок повышенной яркости. -

Р е ш е н и е . По результатам проведенного испытания можно вычислить частоты событий А, В, АВ:

a (АВ) = =0,075.

200

Частота выхода из строя до гарантийного срока электронных тру­ бок повышенной яркости, т. е. частота события А при условии, что имеет место событие В, равна:

м л / д ) - - Я - = л И в и ° ^ 5 - 0 . 6 .

25 |ЦВ) 0,125

Определим теперь понятие условной вероятности, взяв за ос­ нову выявленное нами свойство частоты события А, вычисленной при условии, что произошло событие В.

Определение. Пусть А я В события из некоторого поля событий

F, причем Р (В)^>0. Условной вероятностью Р (AIВ) события А, при условии, что произошло событие В, называется отношение ве­ роятности произведения этих событий Р (АВ) к вероятности Р (В) события В:

Замечание 1. Условная вероятность определяется таким образом только относительно тех событий B^F, для которых Р (В) 0.

Пример 17. (продолжение примера 12). В примере 12 рассматривался выбор студентами экзаменационных билетов (без возвращения) и были вы­ числены вероятности событий А (первый студент взял счастливый би­ лет), В (второй студент взял счастливый билет) и А В (оба студента получили счастливые билеты):

Р (4 ) = Р ( В )= — ; Р ( Л В )= — . 5 30

Найти условную вероятность Р (А/В) того, что первый студент взял счастливый билет, если известно, что у второго студента билет

Замечание 2. Обозначим Fq совокупность всех произведений АВ события В на всевозможные события А поля F. В примере 8 показано, что если событие В рассматривать как достоверное, а события, несовместные с В как невозможные, то Fg обладает свойствами 1—3 определения 1, §4.4 и, следовательно, является полем событий. Условная вероят­ ность Р (А/В) есть функция событий поля Fв, которая обладает свой­ ствами 1—3, т. е., согласцо определению, является вероятностью со­

бытий поля Fв-

В силу сказанного, все свойства, устанавливаемые для вероятно­ стей произвольного поля F, справедливы и для условных вероятно­ стей, которые можно рассматривать как вероятности событий поля Fв-

97

Формулу (4.26) можно использовать для вычисления вероят­ ности одновременного осуществления событий А и В, если известны вероятность события В и условная вероятность события А в пред­ положении, что В осуществилось:

событий равна произведению вероятности одного из них, на услов­ ную вероятность другого, при условии, что первое событие осущест­ вилось. Эта теорема обобщается на случай произвольного числа со­ бытий:

ными (событие А). Из каждой сотни годных изделий в среднем 75 оказы­ ваются первого сорта (событие В). Найти вероятность того, что изго­ товленное на этом предприятии изделие окажется первого сорта.

Р (А) = 0,96, Р (В/А) = 0,75.

На основании формулы (4.28), находим:

Р (АВ) = Р (А) Р (В/А) = 0,96-0,75 = 0,72.

4.10. Независимость событий и опытов

Определение. Событие Л £ Р называется независимым от собы­ тия В, если информация о том, что событие В осуществилось, не

Ввиду замечания 1 независимость события А от события В определена таким образом только в случае, когда Р (В)~/>0.

Следствие 1. Свойство независимости событий взаимно, если со­

бытие А не зависит от события В, т. е. Р {А/В) = Р (А), то и со­ бытие В не зависит от события А, т. е. Р (В/А) = Р (Л).

Действительно, из равенств (4.27) и (4.28) следует, что

Если при этом Р (А/В) = Р (А), то и Р (В) = Р (В/А).

98

В дальнейшем, в силу сказанного, будем называть такие собы­ тия А и В независимыми.

Следствие 2. (Теорема умножения вероятностей для независи­

мых событий.) Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей'.

Равенство (4.32) вытекает из равенств (4.27) и (4.30).

Определение. События А х, Л 2, . . . , Ап называются независи­

мыми в совокупности, если условная вероятность любого из них, при условии, что осуществились любые другие события совокупности, равна полной (безусловной) вероятности этого события’.

для любого i = 1 , . . . , п, и любого набора i ф iy, ty = 1 , . . . , п.

Следствие 3. Вероятность произведения событий, независимых в совокупности, равна произведению их вероятностей:

P 0 M 2 . . . An-1An) = P(A1)P(At) . . . Р(Ап^ ) Р ( А п). (4.34)

Пример 19. В ящике находятся четыре бракованных детали. Одна из них имеет вмятину, другая зазубрину, третья изготовлена из недоброка­ чественного материала, четвертой присущи все перечисленные типы брака. Считая, что вероятность взять любую из этих деталей одина­ кова, найти: 1) вероятности событий, А — взятая деталь с зазуб­ риной, В — деталь с вмятиной, С — детальизготовлена из недобро­ качественного материала, АВ — деталь имеет и вмятину и зазубрину,

Р(АВС) = 1/4.

2.Среди деталей, имеющих вмятины (а таких деталей две), только

одна имеет зазубрину, следовательно,

Деталь, изготовленная из недоброкачественного материала и имею­ щая вмятину, одна (фвс = !)• Та же деталь имеет и зазубрину

/ (тАвс ~ *)'

99