Файл: Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие.pdf

Заметим, что если расставить пределы интегрирования другим способом (изменить порядок интегрирования), то формула для вычис­ ления двойного интеграла окажется более сложной. Действительно, границу области в этом случае необходимо будет представить в первой канонической форме:

1.4.Замена переменных в двойном интеграле

Постановка задачи. Пусть требуется вычислить двойной интег­ рал J от непрерывной функции / (х, у) по области D:

Рассмотрим кроме системы координат Оху, еще систему коорди­ нат Огт (рис. 16). Пусть заданы функции, связывающие перемен­ ные х и у с новыми переменными и и о:

Будем считать, что эти функции удовлетворяют следующим ус­ ловиям:

24

1)в плоскостй (uv) существует такая область D ', что между точками D' и D функции (1.33) устанавливают взаимно-однознач­ ное соответствие;

2)в области D' функции х (и, v) и у (и, v) имеют непрерывные частные производные первого порядка;

3)каждой линии области D' соответствует одна и только одна линия области D\

4)определитель

дх ду

называемый я к о б и а н о м , отличен от нуля для всех точек об­ ласти D '. При этих условиях требуется преобразовать интеграл J

As'

Ри с. 16

кдвойному интегралу по новым переменным и, следовательно, по области D'.

Геометрический смысл якобиана. Рассмотрим произвольное дробление области D и соответствующее ему дробление области D'.

Пусть криволинейный четырехугольник А 1А 2А3А4 (рис. 16) с пло­ щадью As есть часть области D, а соответствующий ему криволи­

нейный четырехугольник А\А2АЪ4 с площадью As' — часть об­

ласти D'. Пусть координаты точек А{ будут (uh vt), а координаты точек Аг— (хг- г/г), где i = 1, 2, 3, 4. Согласно ранее принятым допущениям, х, = х (щ, ог); yt = у (Щ, vt).

Рассмотрим матрицы:

щ — щ i>2—v± \ _

и3---U% Vs--- /

25

Заметим, что все элементы полученной матрицы — полные диф­ ференциалы функций х (и, v) я у (и, и).* Считая, что приращения аргументов и и v малы, заменим дифференциалы функций их при­ ращениями ** и получим следующее приближенное равенство:

По теореме об определителе произведения матриц *** имеем

Будем считать, что рассматриваемые криволинейные четырех­ угольники — параллелограммы. (При малом ранге дробления об­ ласти D погрешность этого допущения мала.) Площадь паралле­ лограмма может быть вычислена как удвоенная площадь треуголь­ ника, а площадь последнего — по формуле (2.77) [3], т. е.

«2 — «1 Ц2 — щ

;As'

Таким образом, абсолютная величина якобиана может быть рассмотрена как коэффициент деформирования площадей частич­ ных областей при преобразовании по формулам (1.33).

*См. [3], формула (4.12).

**См. [3], формула (4.15).

***См. [1], формула (1.82).

26

Формула замены переменных в двойном интеграле. Для вычис­ ления двойного интеграла J составим интегральную сумму:

Применяя формулу (1.36) к каждой частичной области, получим:

Ask ж 11 1Ask (k= 1, 2, . . . , п).

Подставив это соотношение в (1.38), получим приближенное равенство

Перейдем в этом равенстве к пределу при стремлении к нулю ранга дробления области D, заметив, что при этом стремится к нулю и ранг дробления области D ' . В левой части равенства (1.39) содержится интегральная сумма по области D от функции f (х, у), а в правой части равенства — интегральная сумма по области D' от функции

f (х(и, v), у (и, v) ) 11 1.

При переходе к пределу в равенстве (1.39) приближенное равен­ ство станет точным; получим:

DЪ!

Спомощью этой формулы и осуществляется замена переменных

вдвойном интеграле.

Переход в двойном интеграле к полярным координатам. Переход от декартовых координат к полярным осуществляется, как известно, с помощью формул х == р cos ср; у = р sin ф. Вычислим якобиан этого преобразования:

Подставив этот результат в формулу (1.40), получим:

Это и есть формула перехода в двойном интеграле от декартовых координат к полярным.

27

Пример 7. Двойной интеграл J = J [ xydxdy, где D — четверть круга

D

х2 + у2 = R2, вычислить двумя способами: 1) в декартовой системе координат, 2) в полярной системе координат.

1. Расставим пределы интегрирования:

оо

Вычислим внутренний интеграл:

Воспользуемся формулой (1.41), имеем:

нат О'фр области D соответствует область D' — прямоугольник, изо­ браженный на рис. 17. Расставляя пределы по области D' , имеем:

28

1.5.Приложения двойных интегралов

Вычисление площадей плоских фигур. Как уже [известно [см. (1.16)], площадь области D может быть выражена двойным интег­ ралом по этой области от функции f (х, у) = 1, т. е.

Вычисление объемов. Пусть функция f (х, у) непрерывна в об­ ласти D. Рассмотрим цилиндроид, образованный функцией f (х, у) над областью D. Если в обла­

сти D f(x, у)>>0, то цилиндроид имеет вид, изображенный на рис. 2, а объем цилиндроида, как было показано выше (1.5), может быть определен по фор­ муле

жет быть определен по формуле

Р и с. 18

o = f Л fix, у) |dxdy. (1.45)

D

Заметим, что формула (1.45) является обобщением формулы (1.44) , так как при f (х, у) > 0 из формулы (1.45) следует формула

(1.44) .

Пусть в области D функция / (х, у) меняет знак и пусть, область D можно разбить на конечное число областей D lt D %, . . . , Dn, в каждой из которых функция / (х, у) имеет один и тот же знак. Для каждой из областей Dk применим формулу (1.45) и просуммируем результаты. Получим:

29