Файл: Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие.pdf

чины £ задан плотностью вероятности (в случае дискретных случай­

Так как подынтегральное выражение неотрицательно, то каждый из интегралов неотрицателен, и если отбросить второй интеграл, то выражение не увеличится. Оставшиеся интегралы берутся по области, где \х— |>е, так что заменяя (х—т|)2 на е2, получаем оценку:

Первый интеграл в квадратных скобках равен вероятности со­ бытия А = — е}, второй — вероятнрсти события В = = + е). Заметим далее, что событие С = (|£ — т^\^>е}, противоположное событию {|| — т§\ < в}, состоит в выполнении одного из неравенств — е или |>/П| + е и, следовательно, является суммой событий А и В:

равно вероятности того, что значение случайной величины будет отличаться от математического ожидания больше чем на е:

Подставив полученное выражение в (5.124) и разделив правую и левую части на s2, получим (5.123).

Для доказательства теоремы Чебышева заметим, что поскольку рассматриваются независимые опыты, то значение случайной ве­

1 п

ляются независимыми. При таком рассмотрении число — 2 X in

п ;=i

п г=1

152

вые характеристики т|>, используя свойства математического ожи дания и дисперсии:

Р(|ф— М [ ф ] | < е ) = 1 — Р(|ф — М№] |>е). (5.127)

Ввиду неравенства Чебышева (5.123) вычитаемое в правой ча­

сти (5.127) меньше, чем — П[ф], поэтому

е 2

следовательно, стремится к 1 и центральная часть неравенства, что доказывает теорему Чебышева.

Для доказательства теоремы Бернулли достаточно в теореме Чебышева рассмотреть случайную величину £, которая принимает значение 1, когда происходит событие Л, и 0, когда событие А не происходит.

Среднее арифметическое наблюдавшихся значений такой слу­ чайной величины будет равно частоте события А .

Центральная предельная теорема. Большое значение для теоре­ тического обоснования различных приложений теории вероятно­ стей имеют теоремы, выясняющие условия близости законов рас­ пределения различных случайных величин к тем или иным теоре­ тическим законам распределения. Наиболее важной теоремой ука­ занного типа является центральная предельная теорема. В этой

153

теореме выясняются условия, при которых закон распределения суммы

п

*= 2 5 ( i—1

случайных величин приближается к нормальному закону.

Одна из наиболее общих форм центральной предельной теоремы, область применения которой охватывает практически все интерес­ ные случаи, была доказана А. М. Ляпуновым в 1900 г. Не останав­ ливаясь на самых общих формах центральной предельной теоремы, сформулируем ее для случая одинаково распределенных независи­ мых слагаемых.

моментами до третьего порядка включительно, то при неограни-

Замечание. Эта теорема была доказана А. М. Ляпуновым для слагае­ мых, имеющих произвольные (не обязательно одинаковые) законы рас­ пределения, при условии, что

Центральная предельная теорема объясняет причины большого распространения нормально-распределенных величин. Закон рас­ пределения случайной величины близок к нормальному, если она может быть представлена в виде суммы достаточно большого числа практически произвольных независимых (или слабо зависимых) слагаемых, каждое из которых в отдельности сравнительно мало влияет на сумму. По этой причине, например, можно считать нор­ мальными законы распределения ошибок при измерении различных физических величин и т. п.

Г л а в а 6

ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ

6.1. Генеральная совокупность и выборка. Основные задачи математической статистики

Пусть требуется выяснить распределение какого-нибудь при­ знака среди, предметов, принадлежащих большой конечной или бесконечной совокупности. Признак может быть качественным

154

(например, каждое изделие в партии можно охарактеризовать как

тала до того, как перегорела, звезды — числом планет). В дальней­ шем будем рассматривать только количественные признаки, так как изучение качественного признака можно свести к изучению коли­ чественного, вводя величину, принимающую значение 1, если пред­ мет обладает исследуемым качеством, и 0, когда он этим качеством не обладает. Для простоты будем считать величину £, характеризую­ щую рассматриваемый признак, скалярной. Обозначим F (х) — долю предметов в интересующей исследователя совокупности, у которых | меньше х. Совокупность предметов, о которой хотят составить представление, в статистике называют генеральной совокупностью, а функцию F (х) — функцией распределения вероятностей вели­ чины \ в генеральной совокупности. Очень часто исследование всей совокупности невозможно, или связано с большими затратами. Тогда случайным образом (так что вероятность выбора любого предмета из генеральной совокупности одинакова) выбирают п предметов и только эти предметы генеральной совокупности под­ вергают обследованию, а на основании их обследования составляют представление о всей генеральной совокупности.

Обследуемый набор предметов называют выборкой объема п. Задачи математической статистики состоят в получении обоснован­ ных выводов о свойствах генеральной совокупности по известным свойствам извлеченной из нее выборки. Ниже рассмотрены следую­ щие типичные задачи математической* статистики:

а) установление закона распределения величины £ в генераль­ ной совокупности,

б) определение параметров закона распределения, когда закон распределения известен,

в) обработка результатов измерений.

Будем предполагать, что распределение вероятностей | в пред­ метах генеральной совокупности, оставшихся после извлечения из нее выборки, не зависит от того, какие именно предметы генераль­ ной совокупности попали в выборку. Это предположение, очевидно, выполняется для повторных выборок, которые составляются сле­ дующим образом: после того как предмет обследован и результаты обследования зарегистрированы, он опять возвращается в генераль­ ную совокупность и может быть выбран (в ту же выборку) снова. Для бесповторной выборки, когда обследуемые предметы обратно в генеральную совокупность не возвращаются, это предположение будет практически справедливым, если объем генеральной совокуп­ ности намного больше объема выборки (например, для бесконечной генеральной совокупности).

155

6.2. Описание и систематизация выборки

Для удобства обработки и описания результатов выборки вы­ борочные значения | (т. е. значения полученные в результате обследования предметов, составляющих выборку) прежде всего располагают в неубывающем порядке, перенумеровав соответствую­ щим образом члены выборки: Х х < Х 2 < . . . < Хп_ 1< Х п (неко­

торые соседние значения могут быть одинаковыми). Такая после­ довательность выборочных значе­ ний, расположенных в неубываю­ щем порядке, называется вариа­ ционным рядом. Средний член ва­ риационного ряда называется ме­ дианой выборки. Если п-нечетное число, медиана равна X л+1, если

матизации выборки небольшого объема иногда рассматривается дискретная случайная величина £*, возможными значениями которой являются выборочные значения £, а их вероятностями — частоты. Закон распределения случайной величины £* называется выборочным или эмпирическим законом

Пример 1. Для обследования отобраны 10 шт. последовательно отштам­ пованных колец шарикоподшипников. Результаты замеров высоты колец следующие:

156