Файл: Дьяченко, А. Н. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Теория вероятностей и элементы математической статистики учебное пособие.pdf

дифференцируемы, а следовательно, дифференцируема и функция F2 (у). Применяя правило дифференцирования сложной функции, находим:

к (у) = F 2 (у) = F'l {х) Ху = к($(у))У (у).

В общем случае монотонной функции

к (У) = к (Ф Ш ■IФ' (У)

Пример 2. Зная плотность вероятности fa (х) случайной величины |, вы­ числить плотность вероятности fa (у) случайной величины тц являю­

щейся линейной функцией от

/2 (У) = к ^У — Ь\ 1

М

Можно показать, что линей­ ная функция г) от нормальной случайной величины | является нормальной случайной величи­ ной, причем

% = ami + % = |а \а.

Найдем функцию распределения F3 (z) функции от двух случай­

случайных величин (|, т]), функцию распределения случайной ве­ личины £ можно найти по формуле

Fs(z)= f f f (х, у) dxdy,

(Dz)

Пример 3. Вычислить функцию распределения F3 (г) и плотность вероят­ ности f3 (г) суммы С= I + Ц двух независимых случайных величин

Iи т), плотности вероятности которых fa (х) и fa (у) известны.

Ре ш е н и е . Ввиду независимости | и т) их совместная плотность вероятности I (х, у) равна произведению частных плотностей вероят­ ностей:

148

руем функцию распределения Fs (г). В правой части (5.117) от г за­ висит только верхний предел внутреннего интеграла. Как известно, производная от определенного интеграла с переменным верхним пре­ делом по этому пределу равна значению подинтегральной функции при этом пределе. Следовательно,

— ОО

Распределение суммы нормальных случайных величин. Пусть независимые случайные величины £ и т] распределены по нормаль­

ливым также в случае, когда некоторые или все слагаемые являются зависимыми случайными величинами.

Закон распределения %2 (Пирсона) и закон распределения Стьюдента. В статистике при обработке результатов измерений широко используются некоторые специальным образом составленные функ­ ции нормальных случайных величин. Рассмотрим две из них:

(5.119)

и

(5.120)

где ^2, . . . , — независимые случайные величины, каждая из которых распределена по нормальному закону с параметрами

т и а.

Закон распределения случайной величины xh-х называется рас­

пределением х2 (или. законом распределения Пирсона) с (п— 1) степенями свободы.

Закон распределения случайной величины tn_ l называется за­ коном распределения Стьюдента с (п— 1) степенями свободы.

149

Замечательным свойством этих законов распределения, которое и используется в статистике,'является их независимость от пара­ метров т и а. Единственным параметром этих законов распределе­ ния является число п случайных аргументов Число степеней свободы на единицу меньше, чем число аргументов. Аналитические выражения плотностей вероятностей случайных величин, распре­ деленных по закоцам %2 и Стьюдента, здесь не приведены, так как они довольно громоздки и на практике обычно пользуются не ана­ литическими выражениями, а таблицами. Заметим только, что

функцией. Вид кривых распределения (графиков плотностей веро­ ятности) для случайных величин, распределенных по законам %2 и Стьюдента, показан соответственно на рис. 58, а и б.

;5.11. Предельные теоремы теории вероятностей

Закон больших чисел. В § 1.4 говорилось о том, что явления, подчиненные вероятностным закономерностям, обладают следую­ щим свойством: при большом числе опытов ■частота события при­ близительно равна его вероятности. Более точно эта связь между частотами событий и вероятностями устанавливается в теоремах, получивших общее название закона больших чисел. К числу тео­ рем закона больших чисел относятся также теоремы, устанавли­ вающие связь между числовыми характеристиками случайной ве­ личины (такими, как математическое ожидание, дисперсия и т. п.) и их оценками, полученными по результатам наблюдения значений случайной величины в большой серии опытов. Во всех этих теоре­ мах выясняется, что среднее арифметическое значений случайной величины, принятых ею в серии опытов, при неограниченном уве­ личении числа опытов в серии утрачивает случайный характер. Первая теорема закона больших чисел была доказана в 1713 г. Бер­ нулли. В дальнейшем наиболее важные и полные результаты были получены Чебышевым, Марковым, Бернштейном и Хинчиным.

Из всех теорем закона больших чисел рассмотрим только две: Бернулли и Чебышева.

Сходимость по вероятности. Для формулировки теорем закона больших чисел удобно ввести понятие сходимости по вероятности.

Определение. Говорят, что при п -> с о случайная величина

сходится по вероятности к постоянному числу А , если для любого 8>>0, вероятность того, что значение случайной величины \п будет отличаться от числа А не больше, чем на е, стремится к единице при п -» о о ,

lim Р(\ 1п — А |< е ) = 1.

150

Теорема Бернулли. Предположим, что проводится последова­ тельность серий опытов, причем серия с номером п состоит из п опытов. Предположим также, что опыты проводятся по схеме Бер­ нулли, т. е. вероятность появления события А в каждом опыте по­ стоянна и не зависит от результатов других опытов, т. е. Р (А) = р в любом опыте, любой серии.

Обозначим через (Л) частоту появления события А в серии опытов с номером п. Число опытов в серии совпадает с номером серии, поэтому в соответствии с определением частоты события

И) = тп (А)

где тп (А) — число опытов в серии с номером п, в которых появи­ лось событие Л. В каждой серии опытов величина (Л) является случайной, причем закон распределения этой величины очевидно зависит от р и п. Для этой величины Бернулли доказал следующее утверждение.

Теорема. Частота р.„ (Л) события А сходится по вероятности к вероятности этого события р, т. е.

/ г - > СО

Теорема Чебышева. Рассмотрим последовательность серий оди­ наковых и независимых опытов. Пусть как и выше число опытов в каждой серии совпадает с номером серии. В каждом опыте наблю­ даются значения случайной величины Обозначим через Х1п зна­ чение £, наблюдающееся в г-м опыте серии с номером п. Тогда сред­

нее арифметическое \п значений случайной величины £ наблюдаю­ щихся в серии с номером п, равно:

случайной величины | конечна, то справедливо следующее утверж­

151