Файл: Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 90
Скачиваний: 0
20 V. 1. Внутренняя тонкая топология
inf і?фПа = ф (лг0) inf /?fПа. |
Следовательно, критерий |
|
а |
а |
записать в таком виде: |
разреженности |
можно |
|
inf і?фП° (л'о) < ф (л'0) для любой конечной непрерывной
а
полозкительной в точке .ѵ0 функции ф.
Доказательство. Пусть 0 < Ѳ ,< 1 < 02. Тогда в силу непрерывности ф в точке л-0 существует окрестность ст0 этой точки, такая, что на е П сг0.
Ѳ іф Ю < Ф < Ѳ 2ф(х0).
Следовательно, для |
любой |
окрестности |
о сд сг0 |
имеем |
||||
ѲіФ (*0) |
< Я ^ а< |
Ѳур (Л'о) R in°, |
|
|||||
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
ѲіФ (х0) inf |
inf /?фПа< |
Ѳ2ф (л'о) inf R lna, |
|
|||||
и так как Ѳ,, |
аѲ2 произвольныс |
, |
то |
а |
|
|||
|
inf /?;Пс = ф (л0) |
іп{ tfjna. |
|
|
||||
П р е д л о ж е нa и е |
II. 5. |
Еслиa |
функция ф ^ О |
полу |
||||
непрерывна снизу в точке |
х0, |
а множество е нераз- |
||||||
режено в точке хаф е , то Rq (х0) О ф (а'0); |
если, |
кроме |
||||||
того, (р е Ф , то R$ (х0) = ф (л-0). Для любой функции ф, всюду полунепрерывной снизу, но не обязательно при
надлежащей Ф, имеем R% — R%.
Доказательство. Если о е Ф удовлетворяет на е неравенству о ^ ф , то
ѵ іха) = |
lim inf V (x) ^ |
liminf ф (л) ^ ф (л0). |
|||
|
|
X e et x -+x 0 |
x e e , x ->xQ |
|
|
Следовательно, R ve (x0) ^ q> {x0). |
Если ф £ ф , |
то имеет |
|||
место также |
противоположное |
неравенство, |
а следо |
||
вательно, |
равенство. |
|
|
|
|
Пусть |
теперь ф всюду |
полунепрерывна |
снизу и |
||
п ^ Ф на е; тогда ѵ^ц> также и на ё. Значит, |
R%^R%, |
||||
и следовательно, имеет место |
равенство. |
|
|||
|
Гл. II. Понятие приведенной |
функции |
21 |
|||
П р е д л о ж е н и е |
II. 6. |
Пусть |
конечная функция |
|||
Ф ^ О имеет глобальный пик |
в точке х0 и полунепре |
|||||
рывна снизу в х0 (а значит, |
непрерывна в л:0). Д опу |
|||||
стим, что |
любая положительная константа принад |
|||||
лежит Ф. |
Тогда разреженность множества е в х0фе |
|||||
эквивалентна неравенству |
R%> (х0) < |
ф (х0). |
|
|||
Доказательство. |
Если е неразрежено, то, |
как мы |
||||
только что установили, выполнено противоположное неравенство Пусть е разрежено. Тогда существуют функция і і е Ф и окрестность сг точки х0, такие, что inf V > V (х0). Выберем К строго между этими числами
оПв
и рассмотрим функцию w — cp(x0) + k(v — Я), где k— константа, удовлетворяющая неравенствам 0 < k < < ф (,ѵ0)/Я. Тогда w <= Ф, и на е П сх имеем ш>ф (х0)^ф . Далее, w ^ cp (x0) — kX, что мажорирует ф на Ссг при достаточно малом k. Следовательно, ау^&ф на е, так
что w ^R% и
|
R% |
w х0 |
|
|
О б о б щ е н и е . |
(л;0) < |
( ) < ф (.ѵ'о). |
|
|
|
|
То же заключение имеет место, |
||
если ф есть сумма функции ф, указанного выше типа |
||||
и функции и <= Ф, |
конечной в х0. |
|
||
Если е неразрежено, то проходят те же самые |
||||
рассуждения. Если же е разрежено, то |
(х0)<ф , (х0), |
|||
R u(Xe o)<u (x0), и поэтому |
|
|||
R% (xq) < Др, (х0) + R i (х0) < Фі (xq) + и (х0) = ф (х0). |
||||
З а м е ч а н и е . |
В предложениях 5 и 6 функцию ф |
|||
можно предполагать только тонко полунепрерывной |
||||
снизу. |
|
|
|
|
3. |
Строгая |
разреженность. О п р е д е л е н и е I I .7. |
||
Множество е называется строго разреженным в точке |
||||
х0 ф е, |
если |
|
|
|
i n f t f f n4 *o) = 0.
а
П р о с т е й ш и е с в о й с т в а . I) Всякое строго разреженное множество разрежено.
22Ч. 1. Внутренняя тонкая топология
2)Любое подмножество строго разреженного мно жества строго разрежено.
3)Конечное объединение строго разреженных мно жеств строго разрежено.
Т е о р е м а |
II. 8. Пусть для любого е > 0 каждая |
функция из |
Ф, конечная в а-0, может быть предста |
влена в виде V - f Ѳ, где функция Ѳ конечна и непре
рывна |
в л'о, |
а и ё Ф и V (х0) |
< |
8. Тогда |
всякое мно |
|
жество е, разреженное |
в х0, |
будет строго разрежен |
||||
ным в х0. |
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Пусть е разрежено в х0. Тогда |
||||||
существует |
функция |
и е Ф, |
такая, |
что и (,ѵ0) < |
||
< sup |
inf |
ti(x). Выберем число К так, чтобы 0 < /(< |
||||
ох ( = е П а .
< sup inf u{x) — и(хо). По предположению сущест-
аj e еПа
вуют V и Ѳ, |
такие, |
что |
і і е Ф и |
ѵ (д:0) < |
/<е (е > |
0 |
за |
|||||||
дано), а функция 0 |
конечна и непрерывна в .ѵ0. |
Заме |
||||||||||||
тим, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sup |
inf |
и (х) — и (х0) = |
sup |
inf |
v(x) — V {xQ). |
|
||||||
|
|
a jecflo |
|
|
|
о x^efto |
|
|
|
|
||||
Так |
как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О |
< |
К < |
sup |
inf |
|
V (х) — V (х0), |
то |
sup |
inf |
v (х) > К |
||||
и |
|
|
а.ѵ<=еПо |
|
|
|
|
|
a x e e f l a |
|
|
|
||
|
существует такая окрестность сг0, что |
inf ѵ ( х ) Ж . |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jeena |
|
|
|
|
Следовательно, |
ЯкПа° ^ ѵ , |
или |
|
|
^ v , , |
|
т. |
e. |
||||||
■ Rin°0('vo) < V (*o)/K<e. Таким |
образом, inf ^ fna (x0X |
e, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CT |
|
|
|
|
и |
поскольку |
это |
верно |
при |
любом |
е > |
0, |
то |
||||||
inf /?fna(%> = |
0. |
Итак, |
е |
строго |
разрежено |
в |
х0. |
|||||||
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З а м е ч а н и е . Приведенная теорема остается спра ведливой, если мы потребуем лишь, чтобы разложе ние вида V + Ѳ существовало для функции и е Ф , ассоциированной с е, т. е. такой, что
и (х0) < lim inf a (х).
Гл. II. Понятие приведенной функции |
23 |
|
Т е о р е м а I I . 9. |
Пусть Ф С-замкнуто. |
Если еп — |
последовательность |
множеств,, строго разреженных |
|
в xQ, то существует убывающая последовательность ап
окрестностей точки х0, такая, |
что (J (<?„ f| оп) |
строго |
|
разреокено в х0. |
|
|
|
Доказательство. Пусть |
е„ — последовательность |
||
положительных чисел, для |
которой 2 е ,і < + |
°°. Так |
|
как е, строго разрежено в х0, |
то существует |
окрест |
|
ность о, точки х0, такая, что /?ГПо'(л:0) < е,. Так как е2 строго разрежено в ха, то мы можем выбрать окрест
ность а2. с ь с о , так, чтобы ^ Г ПСТі(х0) < е2, и т. д., выбираем ollc :o n-.l так, чтобы R\nп°п(лг0) < еп. Пока-
00
жем, что Е — U (еп П ап) строго разрежено в х0.
п—1
Пусть б — любая окрестность точки .г0. Имеем
|
N |
(гПП М П6 |
|
с о |
|
|
|
U |
|
U (еяПсг„)ЛÖ |
|
||
|
(.to) + R ?+l |
(to). |
|
|||
Второй |
член |
справа |
мажорируется |
величиной |
||
оо |
|
|
|
|
|
|
U (еп ^ ап) |
|
|
ОО |
|
||
|
(х0) и тем более |
величиной 2 |
^ іпПОп(хп)> |
|||
|
ОО |
|
|
w+i оо |
' |
|
которая |
2 8П.-Выберем |
N |
так, чтобы |
2 е,г < |
е/2. |
|
|
N W+1 |
|
|
|
А/+1 |
|
Так как (J(e„ricrn) строго разрежено в .т0, существует
1
N
U (е«П<т„)Пб
окрестность б точки х0, |
такая, что R i1 |
(.t0) < |
< е/2. Следовательно, |
^ f n6(.v0)^en in f ^ f n°(.t0)^e . |
|
|
G |
|
Поскольку e произвольно, мы заключаем, что Е строго разрежено в х0.
У п р а ж н е н и я. 1) Пусть еп — последовательность множеств, строго разреженных в х0. Предположим, что Ф С-замкнуто и что существует счетный базис {со,і} окрестностей точки х0, причем П и« — W - Тогда