ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 86
Скачиваний: 0
§ 9. Основное состояние |
дейтрона |
61 |
величины. Полагая Е = — W, где W положительно, в слу чае потенциальной ямы получаем из уравнения (9.3)
a^ + §(V0-W)u |
= 0 |
при г<а, |
(9.4а) |
§ ? - р - ^ " = = 0 |
при г> а. |
(9.46) |
|
Функция ф должна быть повсюду непрерывной и ограни ченной и иметь непрерывную производную. Поэтому функ ция и = /'ф должна обладать теми же свойствами непре рывности и обращаться в нуль при г = 0, а при г —>• со должна расходиться не сильнее, чем г. Решениями уравне ния (9.4), удовлетворяющими условиям при /' = 0 и на бес конечности, являются
|
|
u = As\nkr |
при |
/" < |
a, |
|
(9.5а) |
||
где |
|
и = Ве-чг |
|
при |
г>а, |
|
(9.56) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kesVMw0-w)t |
|
|
|
|
( 9 6 а ) |
||
|
|
1 = 1-—. |
|
|
|
|
(9.66) |
||
Соотношение |
между |
шириной |
и глубиной |
потенциаль |
|||||
ной ямы. Так как и и |
ее |
производная непрерывны, то |
|||||||
должна |
быть непрерывной и производная от In и. Исполь |
||||||||
зуя это условие |
при г = а, |
получаем соотношение |
|
||||||
|
|
/ г с г ^ / г а = - у , |
|
|
(9.7) |
||||
которое |
не содержит постоянных |
Л и В, а только |
неиз |
||||||
вестные |
параметры а и V0, |
причем |
значение энергии |
||||||
связи основного состояния W известно и равно 2,22 Мэв. |
|||||||||
Значения V0 и а более |
ничем |
не |
ограничены. Таким об |
||||||
разом, |
(9.7) представляет |
собой |
то |
соотношение |
между |
||||
а и VQ, |
которое |
мы хотели |
получить. |
|
|
|
|||
Соотношению (9.7) можно придать более простую при |
|||||||||
ближенную форму. Как мы видели выше, значение W |
|||||||||
мало по сравнению с V0 , поэтому в формуле |
(9.6а) им |
||||||||
можно пренебречь; тогда |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
ctgka=-l~-Y^-. |
|
|
|
|
(9.8) |
||
62 |
|
Часть |
П. |
Количественная |
теория |
ядерных |
сил |
|
|||||||
Таким |
образом, |
ctgka |
отрицателен и |
мал |
|
по |
абсолютной |
||||||||
величине. Поэтому ka слегка превышает |
тс/2. |
(Значе |
|||||||||||||
ние |
ka, |
немного |
большее, |
чем |
Зтс/2, не |
|
соответствует |
||||||||
правильному |
решению, |
так |
как |
при этом |
волновая функ |
||||||||||
ция |
ф имела |
бы |
при |
1гг = ъ |
радиальный |
узел и не отве |
|||||||||
чала бы состоянию с наименьшей энергией, |
что |
противо |
|||||||||||||
речит |
нашему |
предположению.) |
Положив |
приближенно |
|||||||||||
ka ^ |
тс/2 |
и |
опять пренебрегая |
№ в |
выражении |
для /г, |
|||||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
V > 2 |
- S • |
|
|
|
|
(9-9> |
||
В действительности V0 a2 несколько больше величины,
стоящей справа. Однако |
мы |
можем быть |
уверены, что |
l / 0 a 2 < ^ 2 , |
т. |
е. 1га<ъ; |
(9.10) |
этот результат нам понадобится позднее. Выражение Vua~
часто встречается в расчетах, поэтому |
в таких случаях |
|
нет необходимости знать в отдельности |
значения V0 и а. |
|
Другие формы потенциалов с малым радиусом дей |
||
ствия дают приблизительно те же результаты, |
что и по |
|
тенциальная яма. Потенциалы вида е~г |
и е _ г 2 |
рассматри |
вались Бете и Вечером [9]. Предлагалась также функция вида е~г/г, так называемый потенциал Юкавы, возникаю щий в простейшей и наиболее основной форме мезонной теории. Весьма хорошее приближение для волновой функ
ции в |
случае |
потенциала Юкавы |
подробно |
рассматрива |
|||||||
лось Хюльтеном (см., например, [41]). |
|
|
|
||||||||
Волновая |
функция. |
Другим результатом, не зависящим |
|||||||||
от формы |
потенциала |
(если только он соответствует |
ма |
||||||||
лому радиусу действия сил), является |
экспоненциальное |
||||||||||
убывание |
и (г) |
на |
расстояниях |
г, |
больших |
радиуса |
дей |
||||
ствия |
ядерных |
сил. Практически функция |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
« = Се-чг |
|
|
(9.11) |
||
достаточно |
близка |
к |
истинной |
функции |
и (г) по всей |
об |
|||||
ласти |
и может |
употребляться |
во |
многих |
расчетах. |
Это |
|||||
ясно видно из фиг. 7. Величину 1/у можно рассматривать как параметр, характеризующий размеры дейтрона. Выше было показано, что «.радиус»" дейтрона значительно пре-
§ 9. Основное состояние дейтрона |
63 |
вышает радиус действия ядерных сил, т. е.
{ » « • |
(9.12) |
Таким образом, большая часть площади, ограниченной кривой и (г), относится к г > о. При другой форме потен циала и (г) заметно изменяется только в области г < а. Поэтому независимо от формы потенциала функция Ce~v близка к истинной волновой функции и (г) в большей части
|
/•Точная |
|
|
•^и^^Приблитенная, |
Се'"1 |
/ |
^ |
|
О |
|
Р |
|
|
|
|
V(r) |
|
Ф и г . |
7. Точная и приближенная волновые |
|
функции основного состояния дейтрона.
Ф у н к ц и и нормированы .
пространства. В этом приближении волновая функция ф при г = 0 обращается в со; однако она может быть нор мирована, причем оказывается, что за большую часть значе ния нормировочного интеграла отвечает область г > а, так что полюс при г = О приводит к небольшой ошибке:
оо
или
Таким образом, функция
" ( ' • ) = " К £ е ~ " г |
( 9 Л З > |
представляет собой нормированную приближенную форму волновой функции и(г).
64 |
Часть JL Количественная теория |
ядерных сил |
|
|||||
Если |
приписать |
определенные |
значения |
величинам а |
||||
и V0 , |
то |
из условий |
непрерывности и |
нормировки |
можно |
|||
найти |
постоянные |
А и В, входящие |
в выражение для |
|||||
точной |
В |
функции |
и {г), даваемое формулой |
(9.5). |
Посто |
|||
янная |
несколько |
больше постоянной С. |
Хорошим при |
|||||
ближением является |
выражение |
|
|
|
|
|||
|
|
B |
- / & 0 + h a |
) - |
|
|
( 9 Л 4 ) |
|
3. ВОЗБУЖДЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ ДЕЙТРОНА
На основе развитой выше теории можно исследовать вопрос о возбужденных состояниях дейтрона. При / = 0 других связанных состояний, кроме основного, не суще ствует. Действительно, так как энергия связи основного
,sfn k'r ^sin кг
^Основное состояние
|
|
|
|
|
|
|
|
-Первое возбужденное |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
V(r) |
|
состояние с |
1=п |
|
|
||||||
|
|
Ф и г . |
8. |
Волновая |
функция |
возбужденного |
|
||||||||||
|
|
состояния |
дейтрона (если оно |
существует). |
|
||||||||||||
состояния W мала по сравнению |
с |
V0, |
то в |
уравнении |
|||||||||||||
(9.4а) ka лишь немного превышает |
значение те/2. Для |
пер |
|||||||||||||||
вого |
возбужденного |
состояния |
ka |
должен |
слегка превы |
||||||||||||
шать |
значение |
3-/2, |
так |
как |
волновая |
функция |
ф должна |
||||||||||
теперь иметь радиальный |
узел |
|
(фиг. |
8). |
Однако' из |
соот |
|||||||||||
ношения |
(9.10) |
следует, |
что |
|
при |
любом |
|
положительном |
|||||||||
значении |
энергии |
связи |
ka |
|
|
|
|
Поэтому |
при |
I = 0 |
|||||||
не существует |
возбужденных |
|
связанных |
состояний. |
Сво |
||||||||||||
бодные состояния, |
конечно, существуют. |
|
|
|
|
||||||||||||
Мы докажем теперь, что дейтрон не имеет также воз |
|||||||||||||||||
бужденных |
связанных |
состояний |
и |
при |
высших /. |
При |
|||||||||||
этом |
предположим, |
что |
силы |
взаимодействия |
нейтрона |
||||||||||||
с протоном |
в |
состояниях |
с |
высшими |
/ |
такие |
же, |
как |
|||||||||
и в случае I = 0. (Возможность |
существования возбужден- |
||||||||||||||||
§ |
9. Основное |
состояние |
дейтрона |
65 |
||
ных состояний |
с |
другими значениями |
спина |
дейтрона, |
||
в частности 5 |
= 0, |
и с |
другими |
силами |
будет |
для нас |
существенна в дальнейшем, при рассмотрении рассеяния
нейтронов |
протонами.) |
|
|
|
|
Для |
доказательства |
отсутствия |
связанных |
состояний |
|
с I Ф 0 |
мы вычислим минимальную глубину ямы, необходи |
||||
мую для |
существования связанного |
состояния, |
т. е. со |
||
стояния, |
в котором W в точности равно нулю. |
Эта необ |
|||
ходимая |
|
глубина ямы |
оказывается |
значительно больше |
|
той, которая определена выше из энергии связи основного
состояния. |
Истинная |
глубина |
ямы меньше |
минимальной, |
|||||||||
которая требуется для существования связанных |
состоя |
||||||||||||
ний |
с |
I Ф 0, поэтому |
такие |
связанные состояния |
не суще |
||||||||
ствуют. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Дифференциальное уравнение (9.3), обобщенное на слу |
||||||||||||
чай |
/ ф 0, |
имеет |
вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
+ |
|
V ) „ - ^ + » M = 0 . |
|
|
(9.15) |
||||
Далее |
поступим |
следующим |
образом. |
Рассмотрим |
прямо |
||||||||
угольную |
яму, глубина |
которой V = — V0 и радиус |
г=а. |
||||||||||
Найдем |
решение |
уравнения |
(9.15) |
внутри |
и |
вне ямы. |
|||||||
Сошьем |
эти решения при |
г = а. Это дает |
соотношение |
||||||||||
между |
глубиной |
ямы V0 |
и |
энергией |
связи W= |
— Е. По |
|||||||
лагая |
W = 0, определим |
минимальную |
глубину ямы. |
||||||||||
|
Мы приведем в качестве примера доказательство |
лишь |
|||||||||||
для |
1= 1. |
В этом случае |
решения |
дифференциального |
|||||||||
уравнения |
(9.15) |
таковы: |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
и = 5HL*£ _ c o s |
kr |
|
r<a, |
|
(9.16а) |
||||
|
|
|
|
|
kr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и — е |
|
1 ) |
+ 1 | |
г>а, |
|
(9.166) |
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
# _ щ у г т г |
|
|
|
( 9 л 7 а ) |
|||
|
|
|
|
|
|
Y a = i b |
|
|
, |
(9.176) |
|||
Будет проще положить W = 0 перед тем, как удовле творять граничным условиям. Так как. при этом у—>0,
5 Г. Бете п Ф. Моррисон
66 Часть II. Количественная теория ядерных сил
то внешнее решение (9.166) превращается с точностью до множителя в
и = у |
г>а. |
(9.18) |
Это внешнее решение удовлетворяет уравнению
( £ ) ( / • " ) = О |
г>а. |
(9.19) |
Внутреннее решение, которое должно непрерывно перехо дить во внешнее, должно удовлетворять при г = а такому же условию:
jjpj |
(km) = krsin |
|
kr \ r = a = kas'm ka = |
0, |
(9.20) |
|||
т. e. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
£a = |
it. |
|
|
(9.21) |
|||
Используя |
определение |
|
k, |
|
получаем |
из |
(9.17а) при/ |
|
\V = 0 |
MVaa2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
. |
|
|
(9.22) |
||
|
^ |
- - |
|
|
|
|||
|
ft2 |
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, требуемая |
|
потенциальная |
яма V0 |
почти |
||||
в 4 раза глубже потенциальной ямы, определенной из основного состояния дейтрона (9.9). В последнем случае мы имели соотношение такого же типа, как (9.21), в ко тором значение ka слегка превышало тс/2, но, безусловно, было меньше -а [см. условие (9.10)].
Аналогичные доказательства для больших значений / приводят к еще большим значениям величины V0 .
§ 10. РАССЕЯНИЕ НЕЙТРОНОВ СВОБОДНЫМИ ПРОТОНАМИ
Квантовомеханическая теория рассеяния изложена, на пример, в книге Мотта и Месси [58]. Наиболее важным результатом этой теории, принадлежащим Релею, Факсену и Хольтсмарку и часто называемым методом парци альныхволн, является формула для поперечного сечения упругого рассеяния в системе центра инерции:
§ ^ ( 2 ^ 2 ( 2 / + 1 ) Л ( с о з б ) ( е ш ' - 1 ) | 2 . |
(10.1) |