ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 91
Скачиваний: 0
§ 10. Рассеяние нейтронов свободными протонами |
71 |
Фаза 8, определяется, конечно, точной волновой функ цией, зависящей от принятой формы потенциала ядерных сил. В случае прямоугольной ямы для определения 80 условие, что логарифмическая производная волновой функ ции должна быть непрерывна на границе ямы, является достаточным.
Такие вычисления проведены, например, Бомом [14]. Однако вычисления, проведенные при различных формах потенциала, показывают, что на зависимость поперечного сечения от энергии форма. потенциала существенно не влияет. Поэтому имеет смысл проанализировать рассеяние таким методом, для которого форма потенциала не имела бы значения, вместо того чтобы выбирать потенциал исклю чительно из соображений аналитического удобства. С этой целью был разобран специальный метод вычислений для рассмотрения рассеяния в дейтронной задаче. (О малом влиянии формы потенциала см. ниже.)
4. ДЛИНА РАССЕЯНИЯ
Мы можем записать выражение для полного попереч ного сечения, введя в формулу (10.9) волновое число k, тогда o = 4icsin2 6j//22 . При очень малых энергиях k—>0. Мы должны лишь предположить, что поперечное сечение при малых энергиях остается конечным, не стремясь ни к нулю, ни к бесконечности. (В действительности эти зна чения являются частными случаями развиваемой ниже теории.) Тогда sin2 o,//e2 —>(8,//г)2 ^>а2 , где введенная нами величина а имеет размерность длины. Эта длина а, опре деленная пока только для предела нулевой энергии, назы вается длиной рассеяния Ферми. Ее знак также должен быть фиксирован.
Геометрическая интерпретация длины а иллюстрируется фиг. 9. При очень малых k асимптотическая волновая функция вне области действия ядерных сил пропорцио нальна sin(£r+60 )—>£г+80 . Это выражение линейно по г и экстраполируется к нулевому значению при радиусе,
равном —b/0k. |
Узел может лежать по обе стороны оси |
||
г = 0 . Мы выберем знак |
длины рассеяния таким образом, |
||
чтобы а=—80/&. |
Тогда |
положительная фаза |
соответствует |
отрицательной |
длине рассеяния и волновая |
функция при |
|
72 Часть II. Количественная теория ядерных сил
малых энергиях имеет вид /е (г—а). Это условие является обычным и соответствует тому, что непроницаемая сфера радиуса а имеет длину рассеяния -\-а.
Очевидно, что длину рассеяния Ферми можно опреде лить экспериментально. Ее величина определяется попе речным сечением при малых энергиях, а относительный знак
|
Ф и г. |
9. |
Геометрическая интерпретация |
длины |
|
||||||||
|
|
|
|
|
рассеяния |
Ферми |
а. |
|
|
|
|
||
а |
— потенциал |
п р и т я ж е н и я |
с |
отрицательной |
д л и н о й |
Ферми; |
|
||||||
о |
— |
потенциал |
отталкивания |
с |
п о л о ж и т е л ь н о й |
длиной |
Ферми; |
|
|||||
в |
— |
потенциал |
п р и т я ж е н и я , |
но |
с положительной длиной Ф е р |
|
|||||||
|
ми, п р е д п о л а г а ю щ и й существование |
связанного |
состояния . |
|
|||||||||
ее можно |
получить из любого интерференционного опыта, |
||||||||||||
в котором |
определить |
знак |
сдвига |
фазы |
рассеянной |
вол |
|||||||
ны. Любой |
полностью |
отталкивательный |
потенциал |
(на |
|||||||||
пример, кулоновские силы между одноименно заряжен ными частицами) имеет по нашему условию положитель ную длину рассеяния. Хотя полностью отталкивательный потенциал соответствует положительной длине рассеяния, тем не менее потенциал притяжения может давать как
§ 10. Рассеяние |
нейтронов |
свободными протонами |
73 |
|
отрицательные, |
так |
и положительные значения для а(0) |
||
в зависимости |
от |
характера |
потенциала. (Дальнейшие |
|
подробности см. |
в § |
11.) |
|
|
Мы можем обобщить длину рассеяния Ферми, опреде лив величину a(k) для всех /г, если сохраним предельное соотношение о0—=>—ka. Записав tgS0 =—ka(k), мы, оче видно, допускаем для a(k) произвольно большие значения, даже если фаза имеет ограниченную область изменения.
Поперечное сечение |
может быть записано в виде |
|
|
|
|||||||||||
|
|
4 B s i n » 8 „ |
4 « / |
|
I |
Л |
|
|
4* |
|
|
|
|||
|
|
к- |
|
k- U |
+ ctg2 6<J |
|
[А*+1/а 2 (А)] - |
^ V - l V > |
|||||||
Таким образом, соотношение /гctgо0 |
=• — 1/а(/г) |
и |
знание |
||||||||||||
только |
длины а (/г) |
как функции энергии полностью оп |
|||||||||||||
ределяет величину |
рассеяния 5-волны. Мы |
назовем |
a (k) - |
||||||||||||
обобщенной длиной рассеяния. При стремлении энергии к |
|||||||||||||||
нулю она переходит в длину рассеяния |
Ферми, |
т. е. |
|||||||||||||
lima (/г)—» я. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
5. ЭФФЕКТИВНЫЙ |
РАДИУС |
|
|
|
|
|||||||
Мы покажем теперь, что независимо от формы |
и глу |
||||||||||||||
бины |
потенциальной |
ямы |
обобщенная |
длина |
рассеяния |
||||||||||
a(k) |
является линейной функцией энергии. Прямая линия, |
||||||||||||||
изображающая зависимость от энергии, очевидно, пересекает |
|||||||||||||||
ось |
ординат в точке, |
соответствующей |
длине |
рассеяния |
|||||||||||
Ферми |
с(0) = о, |
а |
наклон |
ее. дается |
другим параметром, |
||||||||||
имеющим размерность длины и называемым эффективным |
|||||||||||||||
радиусом г0. Эта |
зависимость |
не |
|
является |
|
точной. |
|||||||||
Функция, a(k) |
содержит |
высшие члены |
по /г3, |
но |
ими |
||||||||||
можно |
пренебречь |
в |
области, |
где |
главным |
является |
|||||||||
5-рассеяние. Таким |
образом, |
измеряя |
рассеяние в области |
||||||||||||
5-волны, можно определить |
только |
два |
параметра |
а и г 0 , |
|||||||||||
а влияние детальной формы потенциала может быть уста |
|||||||||||||||
новлено при повышении точности, что требует рассмотре |
|||||||||||||||
ния поправок, связанных с высшими значениями I. |
|
||||||||||||||
|
Чтобы получить линейные соотношения для |
— 1/а(/г), |
|||||||||||||
мы прежде всего запишем волновое |
|
уравнение |
для |
двух |
|||||||||||
состояний с энергиями Ех |
и |
Е.2 |
(оба |
|
5-состояния): |
|
|||||||||
|
|
5 - |
+ р [ - ^ - ^ ( ' ' ) ] " ! |
= |
0 |
|
|
(Ю.Иа) |
|||||||
74 Часть II. Количественная теория ядерных сил
Умножая уравнение |
(10.11а) на и2 |
и уравнение |
(10.116) |
||
на |
ult вычитая одно |
из другого и |
интегрируя, |
получаем |
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
^{kl-kD^UjUidr, |
|
(10.12) |
|
где |
интеграл берется |
в пределах от 0 до |
произвольного |
||
радиуса R. Когда верхний предел |
равен |
бесконечности, |
|||
мы имеем не что иное, как соотношение ортогональности
двух собственных функций. |
|
|
Проделаем далее |
те же самые операции, |
используя |
не точные волновые |
функции, являющиеся |
решениями |
уравнения Шоедингера, а некоторые функции 'ф, которые
ведут себя |
в точности |
так же, как и (г) на расстояниях, |
|
больших радиуса действия сил. Эти функции |
являются |
||
волновыми |
функциями |
свободных частиц со сдвигом фаз: |
|
|
|
s i n g ; c 5 l ) - |
( 1 0 - 1 3 > |
Нормировочная постоянная нами выбрана так, чтобы зна чение ф в начале координат равнялось единице. Этим определяется и нормировка у, так как ф асимптотически совпадает с и.
Для функции ф также имеет |
место соотношение типа |
|
(10.12) |
R |
|
|
|
|
Ш - Ш |о = |
^ ФхФайл |
(10.14) |
|
о |
|
Вычтем (10.14) из (10.12). В левой стороне получаемого при этом равенства верхний предел не дает вклада, если мы выберем значение R больше значения радиуса дей ствия, сил потому что тогда ф—>и. В правой стороне ра венства мы можем по этой же причине распространить интегрирование до бесконечности. Так как и(0) = 0, то из приведенных выражений для фг и ф,' получаем для всех
§ 10. Рассеяние нейтронов свободными протонами |
75 |
вещественных k |
|
|
ф;(0) - ф; (0) = к ctg а, - к ct g |
\ = ^ - ^ |
= |
с о |
|
|
= ( ^ - * J ) $ |
(ФЛ-"!"!.)^- |
(Ю.15) • |
о |
|
|
Это равенство является точным при любом виде потенци
ала с конечным |
радиусом. |
|
|
||||
Используем соотношение (10.15) для случая |
/гх—>0 и |
||||||
произвольного |
/г2 |
= k. Так как длина |
рассеяния |
Ферми а |
|||
совпадает |
с а(0), |
то мы получим |
|
|
|||
|
|
- / 2 c t g 8 |
= ^ ) = i - Y ^ ( ° > £ ) ' |
< 1 0 Л 6 ) |
|||
где |
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| р ( 0 , |
£ ) = ^ (ф 0 ф - « 0 и)й; - . |
(10.17а) |
||
|
|
|
|
|
о |
|
|
Интеграл |
р может быть определен для двух произвольных |
||||||
энергий |
Е1 и |
Е2: |
|
с о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
р ( £ 1 ( £ 2 ) = ^ (фхфа - «i"2 ) dr- |
(10.176) |
|||
|
|
|
|
|
о |
|
|
Существенно, |
что функции ф и и |
отличаются |
только |
||||
внутри |
области действия сил. Но как раз в этой области |
||||||
они слабо зависят от энергии, потому что потенциальная
энергия много |
больше чем кг во всей области малых энер |
||
гий, примерно |
до 10 Мэв. |
|
|
Поэтому будет хорошим |
приближением, если во всей |
||
области энергии |
заменить |
ф и и в формуле (10.17а) на |
|
соответствующие |
функции при нулевой энергии. Тогда вы |
||
ражение (10.17а) становится равным постоянной, которую обозначим через х/2 г0:
|
с о |
1 р ( 0 , Е) **±?(0, °)=iro=[ |
( Ф о - " о ) ^ - (Ю-18) |
|
о |
Мы назовем постоянную, определяемую формулой (10.18), «эффективным радиусом».