ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 101
Скачиваний: 0
§ 13. Рассеяние протонов протонами 113
Однако опыты Уайта, а также Тюва, Хайденбурга и Хавстада, выполненные в 1936 г., показали, что под углом 45° наблюдается значительно больше протонов, чем это следует из формулы (13.4) при энергии протонов около 1 Мэв. Это означает, что ядерные силы уже здесь играют заметную роль.
Влияние |
ядерного потенциала. Разумно |
предположить, |
что потенциал ядерных сил, действующих |
между двумя |
|
протонами, |
имеет такие же свойства, как |
и потенциал |
взаимодействия протона с нейтроном. Предположение Виг-
нера о малости радиуса действия сил (см. § 9") |
относится |
|||
как |
к взаимодействию протона с нейтроном, так и к взаимо |
|||
действию протона с протоном. Главным |
отличием |
протона |
||
от |
нейтрона является электрический |
заряд, |
а |
ядерные |
силы, по-видимому, не вызываются наличием заряда. Поэтому мы примем, что потенциал сил взаимодействия двух протонов ограничен, как и прежде, некоторой малой областью радиуса а, хотя значение а не обязательно
должно |
быть тем же. |
|
|
Поэтому при рассеянии протонов протонами при |
малых |
||
энергиях |
следует ожидать, что ядерные силы будут |
вызы |
|
вать только рассеяние |
при / = 0, так же как и при рас |
||
сеянии |
нейтронов протонами. |
|
|
. Мы |
здесь только |
наметим ход решения задачи |
(более |
подробное изложение |
см. в книге Мотта и Месси |
[58]). |
|
В чисто кулоновском поле в системе координат центра инерции асимптотическое решение уравнения Шредингера
для рассеяния |
двух частиц равной массы М, |
энергия |
|||||
одной из которых |
равна 1/2Mv2, |
имеет |
следующий вид: |
||||
ф (г) = exp [ikz + ir\ Ink (г — z)] + |
|
|
|||||
+ |
|
exp [ikr - i-q In 2kr + |
tit + 2 £ 0 ), |
(13.5) |
|||
где |
|
|
|
|
|
|
|
g ( ° ) = |
Afossin"* (0/2) |
exp ( |
- h, lnsinB 4) |
(13.5a) |
|||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
£_ |
k = t f o |
, o |
Г(1 + п|) |
|
||
ч |
bv |
' K |
2h |
' 6 |
| Г ( 1 + «т))Г |
[^-00) |
|
Первый член в формуле (13.5) представляет собой падающую волну; это почти плоская волна с небольшим,
8 Г . Бете и Ф. Моррпсон
i 14 Часть il. Количественная теория ядерных сил
зависящим от координат сдвигом фазы, вызванным боль шим радиусом действия кулоновского потенциала. Второй член выражает рассеянную сферическую волну. Квадрат модуля g (0) дает поперечное сечение, отнесенное к единице телесного угла da/dQ, если на ф не накладываются огра ничения, связанные с характером симметрии.-Заметим, что |g(0)|2 в точности совпадает с формулой (13.1), которая поэтому является правильной для рассеяния неодинаковых частиц в чисто кулоновском поле.
Рассмотрим теперь действие ядерных сил, не принимая пока во внимание тождественности частиц. Разложим ф (г) по полиномам Лежандра cos 0
b(r) = ±%vl(r)Pl(cosb), |
(13.6а) |
а истинную волновую функцию х(г )> включающую эффект
ядерных |
сил, представим |
в виде |
аналогичного |
разложения |
|
X (г) = у |
2 М О Л (cos 0). |
(13.66) |
|
Волновые |
функции не |
зависят |
от азимута |
<р, • так как |
в качестве оси z (ось полярной системы координат) выбрано направление распространения падающей волны. Такие раз ложения возможны, если кулоновский и ядерный потенциалы центрально симметричны. 1-е члены этих сумм являются составляющими волновой функции, отвечающими орбиталь ному моменту /. Функции vL (г) и щ (г) представляют собой решения радиальной части уравнения Шредингера, соответ
ственно для чисто кулоновского и для суммарного |
(куло |
|||||
новского |
и ядерного) полей. Таким образом, можно |
найти |
||||
vt(r) и щ(г). |
Оказывается, что асимптотически при 2—>со |
|||||
«[ (/гг) = vi (kr + 8j), |
где 5, — постоянный |
сдвиг фазы, |
зави |
|||
сящий от |
I. |
|
|
|
|
|
Здесь мы будем рассматривать лишь протоны с малой |
||||||
энергией |
(скажем, |
< 10 Мэв). |
Тогда |
существен |
только |
|
сдвиг фазы 80. Поэтому нам нужно ввести поправку |
только |
|||||
в член с 1=0. |
В этом случае |
мы можем записать |
|
|||
|
|
X(i-) |
= 'Hr) + 7-[«o |
{r)-v0 |
(/•)]• |
(13.7) |
I
§ |
13. |
Рассеяние |
протонов |
протонами |
115 |
||||
Если и0 (/') и v0 |
(г) соответствующим |
образом нормированы, |
|||||||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X (г) = exp |
[ikz-\- щ In /г (/• — г)] |
+ |
|
|
|
||||
+ |
-^exp [ikr - |
if] 1п2/гл + |
Ы + |
2 £ 0 ] f (6), |
(13.8) |
||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (0) = -£l е х Р [ ~ ' ^ l |
n |
s i n 2 ( 0 / 2 |
) ] + - (е2 |
»° - 1) |
(13 9) |
||||
|
Л 1 |
у2 |
sin2 |
(0/2) |
^ 2 / Л С |
|
^ ° - J J |
||
Разность между этим выражением и выражением для /(0), даваемым формулой (13.5а), состоит в содержащем oQ добавочном члене, который описывает ядерное рассеяние.
Симметрия волновой функции. Формулы (13.8) и (13.9) дают правильный результат в случае рассеяния
различных частиц. Мы.должны |
теперь внести |
исправления |
в эти формулы, чтобы принять |
во внимание |
тождествен |
ность двух протонов. Волновая функция пространственных
координат должна быть симметричной, если |
суммарный |
спин равен 0, или антисимметричной, если |
суммарный |
спин равен 1. Функция х(г) в (13.8) не является ни сим
метричной, |
ни антисимметричной. Но очевидно, что функция |
|||||||||||
|
|
|
|
|
Xs = ^ g [ x ( r ) + |
x ( - r ) ] |
|
(13.10а) |
||||
симметрична, |
а функция |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
Za = ^ t ^ ( r ) - Z ( - r ) ] |
|
(13.106) |
||||
антисимметрична. Замена |
(г) на ( — г) |
эквивалентна замене |
||||||||||
г |
на г, |
z |
на |
—z и б на ( х - б ) . Если в рассматриваемом |
||||||||
разложении |
учесть, что |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
Pt |
[cos (и - |
б)] = ( - |
1 у Pl |
(cos 0), |
(13.11) |
|||
то |
легко |
видеть, |
что |
в |
(13.10а) выпадают |
составляющие |
||||||
с |
нечетными |
I, |
а в |
(13.106) — составляющие с |
четными I. |
|||||||
Функциями |
|
f(0), |
соответствующими |
%s и |
Ха> являются |
|||||||
|
f m _ |
_£!_ J exp [-/-pin sin2 (0/2)] |
|
|
|
|||||||
|
M u ; |
Mv2 |
|
\ |
|
sin2 (G/2) |
"г" |
|
|
|
||
116 |
|
Часть It. |
Количественная теория |
ядерных |
сил |
|
t |
/гл = |
Г ехр[ — if] In sin2 (0/2) j _ |
|
|
|
|
U\ |
) |
Mv2 \ |
sin2 (0/2) |
|
|
|
|
|
|
exp[-t-n, In cos2 |
(0/2)]1 |
m |
1 9 ^ |
|
|
|
cos2 (0/2) |
J |
• |
|
Функция fs (0) соответствует синглетному рассеянию (5 = 0), а /ц(9) — триплетному (5 = 1). Синглетное и триплетное рассеяния некогерентны, поэтому полное дифференциаль
ное сечение |
имеет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
. ^ = [ { | f a ( 0 ) M - T l / S ( 0 ) l 2 ] 2 T C s i n 0 d 0 |
= |
|
||||||||||||
|
|
|
= F(0)2T C sin0rf0 |
|
|
|
|
(13.13) |
||||||
(последнее равенство дает определение F). |
|
|
|
|||||||||||
Для |
перехода |
к лабораторной системе координат |
надо |
|||||||||||
заменить |
0 на 291, тогда |
получим |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
do = F (2бх ) 4 cos 0! 2и sin 6Х d0x. |
|
(13.14) |
||||||||
Из формул |
(13.12) —(13.14), |
вновь |
пренебрегая выраже |
|||||||||||
ниями |
под знаком |
экспоненты |
в |
(13.12)г ), |
получаем |
сле |
||||||||
дующее |
выражение |
для |
поперечного |
сечения, отнесенного |
||||||||||
к единице |
телесного угла: |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Г |
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
du ~~ El |
L sinJ |
0Х "*~ cos'1 |
0Х |
sin2 |
0Х |
cos2 |
0Х |
|
|
|
||||
|
|
|
2%v sin5 0 cosS„ |
. |
/ 2 / ш Л 2 . |
1 |
n |
. , „ , с . |
||||||
|
|
|
|
^пг—2-г |
|
+ ( -т- |
) sin2 |
оа cos 0,. |
(13.15) |
|||||
Заметим, |
|
е2 |
sin-01 cos2 01 |
|
V е У |
|
J |
1 |
4 |
' |
||||
|
что |
формула |
|
(13.15) |
переходит |
в |
формулу |
|||||||
Мотта |
(13.4) для чисто |
кулоновского |
рассеяния, |
если по |
||||||||||
ложить |
о0 |
= 0, |
т. е. |
если |
считать, что ядерное |
рассеяние |
||||||||
отсутствует. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Четвертый |
член в скобках |
в |
формуле |
(13.15) пред |
||||||||||
ставляет собой интерференцию кулоновского и ядерного
рассеяний. Он дает |
возможность экспериментального |
изме |
||
рения весьма |
малых |
значений |
30, так как угол 80 в |
него |
входит не квадратично, а линейно. |
|
|||
Линейная |
зависимость интерференционного члена |
от 80 |
||
позволяет также определить, |
являются ли ядерные |
силы |
||
*) Полная формула, включающая эти члены, получена Брейтом, Такстоном и Эйзенбадом [17].
$ 13. Рассеяние протонов протонами 117
силами притяжения или отталкивания. Силы притяжения
дают для 80 положительное значение, а |
силы отталкива |
|||
ния—отрицательное. |
Результаты |
опыта |
указывают, |
что |
при / = 0 действуют |
силы притяжения. |
|
|
|
Последний член |
в скобках |
в формуле (13.15) |
имеет |
|
точно такой же вид, |
как и выражение для сечения в |
слу |
||
чае рассеяния одними ядерными силами. При больших энергиях вследствие коэффициента а2 это чисто ядерное рассеяние становится наиболее существенным.
2. ТЕОРИЯ ЭФФЕКТИВНОГО РАДИУСА ДЛЯ РАССЕЯНИЯ ПРОТОНОВ ПРОТОНАМИ
Как и в случае рассеяния.нейтронов протонами, можно разработать теорию эффективного радиуса для рассеяния протонов протонами, видоизмененную для учета кулоновских сил. Собственно ядерное рассеяние при малых энер гиях» может быть описано теми же двумя параметрами: эффективным радиусом и длиной рассеяния Ферми.
|
Мы будем строить эту теорию точно таким |
же образом, |
|||||||||||||||
как и в более простом случае, в котором |
имеются |
только |
|||||||||||||||
короткодействующие |
ядерные |
силы. |
Рассматривая |
только |
|||||||||||||
S-волны |
(/ = 0) |
и |
соответствующие |
волновые |
уравнения |
||||||||||||
для |
двух |
состояний |
с |
энергиями |
EL |
и |
£ 2 |
и |
преобразуя |
||||||||
их |
так |
же, |
как |
и |
при |
выводе |
формулы |
(10.15), |
мы |
по |
|||||||
лучаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
<?1 ('"Ж (Г) - |
<?„ (/") ср; ( Г ) |
= (kl - |
k\) |
^ |
(?1?2 |
- »!»,) dr, |
(13. 16) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r«ro |
|
|
|
|
|
|
|
где ult а |
(г) — точные радиальные волновые функции (0 = |
и/г) |
|||||||||||||||
системы |
при |
энергиях |
|
Ех и Е2, |
а функции fx(r) |
и %(/") — |
|||||||||||
асимптотические |
выражения для |
иг |
и и2 |
при |
значениях |
г, |
|||||||||||
превышающих радиус |
действия |
ядерных |
сил. Функции ср |
||||||||||||||
не являются теперь составляющими плоской |
волны, они |
||||||||||||||||
сильно |
искажены |
|
дальнодействующими кулоновскими |
си |
|||||||||||||
лами.- В случае отсутствия дальнодействующих сил два линейно независимых решения радиальных уравнений ведут себя на больших расстояниях как sin/гг и coskr. Гранич ное условие в начале координат и (0) = 0 заставляет нас считать cos kr нерегулярным решением, так как оно не