Файл: Фотиева, Н. Н. Расчет обделок тоннелей некругового поперечного сечения.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 121
Скачиваний: 0
Произведем, далее, преобразование = R x*l, при котором внешний контур кольца перейдет в окружность единичного радиуса, а его внутренний контур — в окруж
ность радиусом R± — 1//?]* < |
1. Отображающая функция |
|||||||||
примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z = a»(£) = K(C + <7n r n); |
|
|
1К\ |
^ = |
£T I /?"+1- |
(3‘3) |
||||
|
|
|
|
|
|
и-\-0 |
|
|
||
В этом случае |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hn — Qni |
= |
h n — 1 |
— / г„ |
_ 2 — |
. . . — h 0 — |
t i n — i — |
h n — 2 — |
|||
|
|
= . . . = к = о. |
|
|
|
|
||||
Кроме того, |
|
|
Ь -Rf |
|
|
|
|
|
||
|
|
h'n = |
Rni |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Щп |
|
|
|
|
|
причем не равны нулю лишь |
hn", |
hln+ь |
|
Лзл+ 2 |
и т. д. |
|||||
Найдем ak как корни уравнения |
|
|
|
|
||||||
|
1п+1- Щ п = 0; |
l n+x = n — |
R l +l. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
а-\-Ь |
|
|
|
|
Отсюда |
2tn(*-D |
|
|
|
|
|
|
п + 1/-------- |
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
= |
"+ ‘ (*= 1, 2, •..,« + |
1), Y = |
1 / |
«^77 - |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
К |
а + 6 |
|
Модули всех корней одинаковы и равны:
|
|
rk = yRv |
|
(3.4) |
|
Аргументы корней ah равны: |
|
|
|||
4k = 2j^ ~ { k = |
\ , 2 , |
...,п + 1 ). |
(3.5) |
||
|
п + 1 |
|
|
|
|
Найдем, далее, |
величины |
A k, |
Bh, Ch, D h, Ch' |
и D k' |
|
из соотношений (1.103): |
|
|
|
|
|
Л = (« + !) rnk cos mpft; |
= |
(n -f 1) rnk sin n<ph; |
|
||
Ch= r" cos Пфй + 9n r f + 1cos (2n + |
1) фй; |
|
|||
Dh= r» sin пфй -f ?n |
1 |
Sin (2n + |
1) фЛ; |
(3.6) |
|
|
|
|
|
|
|
C'k= R i rk cos «Ф& + |
ЯГ(2"+ 1) r f + 1cos (2n + 1)Фй; |
|
|||
Dk = R1rnksinmfh+ q n RT{2n+l)rl'1+l sin(2«+ l)q>fc.
108
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
1+ ‘7re/* + 1co s(n + l^ fe |
|
|
|
|
||||
uk ----------------- —----------- ; |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
п +1 |
|
|
|
|
|
|
|
q |
rl +1 sin (n+ 1) фk . |
|
|
|
|
|||
vb = - |
|
n + 1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
(3.7) |
||
, |
Rl + qnRl (2n+'i)rnk+ xzos(n+\)yh |
||||||||
|
|||||||||
uk |
|
|
tx I |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
, |
q n R T { 2 n + l ) r kn + |
l sin ( п+1) ф |
|
|
|
||||
Vk = ------------------- --------------- ц |
|
|
|
||||||
|
|
|
Л + |
1 |
|
|
|
|
|
Но, как вытекает из (3.5), |
|
|
|
|
|
||||
|
cos (n -f |
1) Фй = |
cos 2л (k — L) = 1; |
|
|||||
sin (n + 1) <pft = |
sin 2л (k— 1) — 0; |
{ k = \ , 2 ...... |
n + l), |
||||||
поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
uh = l+ V S + 1 ; »а= 0; |
|
|
|||||
|
|
|
n + l |
|
|
|
|
||
|
uk - |
R1 + qnRT{2n+i)rnk+l . |
Vk |
, |
u, |
(3.8) |
|||
|
— |
---------------------> |
|
||||||
|
|
|
л + 1 |
|
|
|
|
||
причем все uh и uk’ равны между собой независимо от зна чения k. Далее,
Cm = R г |
л + 1 |
|
|
l{ R \ Xuk— Uk) cos {m— \) y k -- |
|||
|
А=1 |
|
|
= |
n+l |
cos(m— 1) |
2л (k— \) |
2 |
|||
|
A=1 |
|
n + 1 |
Входящее в эту формулу выражение можно преобразовать следующим образом:
п+1 |
cos |
2л (т—1) (k— 1) |
П |
2я(/я-1)^= С05я ,( т - 1)я>< |
|
2 |
2 cos |
||||
А=1 |
|
л +1 |
k=0 |
л+1 |
л+1 |
Xsin (т — 1)л cosec т— 1Л,
л+ 1
109
причем, учитывая, что
cos п (т —1) я ^ 1, sin (т— 1) л = О,
п +1
придем к выводу, что это произведение может отличаться
т — 1
от нуля лишь при выполнении равенства sin } л = О,
т. е.
т— 1 |
■/ ( / 0 , 1,2,...), m = l + /(n + l) - |
п + 1 |
|
В этом случае
sin («+1) 1л
-*3 .
(/г-fl) cosnltt—Crt-f
sin In
__ n\f :„9. 1— i -{-1 —4/
i cos(n—2)lnslri2ln-j-Cn cos'1 4/jisin4/;ri-f...
sin In
= (— !)"'(« + !)•
Но, как известно,
cos п1л = (— l)n/;
следовательно,
cos nln sin (я4 1) In |
= n + 1. |
|
|
|
sin In |
|
|
|
|
Таким образом, |
|
|
|
|
(RTluh~u'k) |
при m = l + /(n + l) |
|||
c*m= \ |
|
(/ = |
0, 1, 2,...). (3.9) |
|
[о |
|
при т ф \ |
- f/(n -f 1) |
|
Определим величину RT*1uk — и'h. Как известно, |
||||
I _Lq |
I __d 2__ ~ d —2 tirti~\- ] |
= |
||
RT iUk- u ' k = - ± l nk____ /?1 |
^ |
|||
(«+!)
_ ( l ~ R P + nq2n( l - R - 2 ”)
■Rl («Ф1)
поэтому
(n-f- l ) ^ n+ 1
110
Введем обозначение
R\n (l - R D - n g l d - R l " )
М = |
(3.10) |
|
R1+ 1 |
Тогда формулу (9) можно переписать следующим образом:
т ~ 1R™ М при т — 1 + / (п + 1)
г* ■ |
(/ = 0, |
1, 2, ...). (3.11) |
Ьт - |
||
при т ф 1 + |
/(п + |
1) |
Выпишем коэффициенты матрицы системы уравнений (1.110). Коэффициенты при неизвестных cv первых г уравне ний имеют вид
Cm,v= ^ т,v ^ RТ' "Т' ~ R \m'^
- v R r m+'rl+m~ 2 {RTluk- u k)n^ c o s (m + v—2 )? flfc il.
k=i |
" + 1 |
Первое слагаемое отлично от нуля лишь при т = v. Второе слагаемое не равно нулю при т + v = 2 + I {п + 1). С учетом ранее введенных обозначений формула для ст>v примет вид
ст,v = K , v ( R ? + - j Яr m) - vyv+"!- 2 RZ~ 1М.
Коэффициенты ат, v определятся формулой .
dm, v — v R 1 т |
[ S y — m - ) - n + |
l c m — v — 1 ~f“ |
— m ( 1 |
^v>— т + п + 1 ) Х |
|||
X ( / z v _ O T + i — 7^— (v — m + D h y _ m+ , ) ] |
d 6 26 m ^_v _ i ^ |
p X |
|||||
|
|
|
|
|
|
P= 1 |
|
X ( |
7 ^ ~ ( |
P |
~ i |
hp—rn-p l) ^v + p+ 1 |
|
||
—d6n+2 —e |
2 |
^V + p Pcm—p—1^V +p+ 1| ■ |
(3-12) |
||||
|
|
P=1 |
|
|
J |
|
|
Рассмотрим |
первое |
слагаемое. |
По |
определению |
(1.30), |
||
8v_ m+n + I =£0 при V—m - f - n + l< n , |
tn— v > l , |
||||||
|
|
т. e. v < m — 1. |
|
|
|||
Кроме того, |
как уже указывалось, |
|
|
|
|||
Cm—у—1^ 0 при т —V — 1 = 1 + /(п + 1), т. е. v = т —2—/(« + 1 ).
Ill