Файл: Фотиева, Н. Н. Расчет обделок тоннелей некругового поперечного сечения.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 120
Скачиваний: 0
Следовательно, первое слагаемое не равно нулю лишь при
v — т — 2 — I (н -\- 1).
Во втором слагаемом v — т = п — 1, так как /zv-m+ 1 и К - т + 1 отличны от нуля только при v — т + 1 = п; кроме того,
Sv_ m=^0 при v—т<1п,
6у_ ш+п+1 = 0 при v - т + п + 1 ^ п , т. е. v—m > — 1.
Таким образом, второе слагаемое отлично от нуля при v — т — п — 1.
Третье слагаемое (3.12) тождественно равно нулю, так
как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
р — т + 1 = п, |
v + р + 1 = п. |
||||||||
Отсюда имеем v + |
т = 0, |
что невозможно. |
2; следова |
||||||
Последнее |
слагаемое |
равно |
нулю при |
е ^ |
|||||
тельно, здесь |
е > 2 , |
п > |
2. |
Поскольку |
е — наименьшее |
||||
из чисел т и п , то, |
значит, |
е = 3. |
лишь |
один член, |
|||||
Следовательно, |
от |
суммы |
остается |
||||||
а именно: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Но здесь |
|
fiv-f-1С'т—2 ^v+ 2 • |
|
|
|
||||
6V+i^ O |
при v < n + l ; |
|
|
||||||
|
|
|
|||||||
|
Cm-2 ¥ = 0 |
При т —2 = |
1 -[-1 (п+ 1); |
||||||
|
hv+2 =7 ^ 0 |
при v — n — 2. |
|
|
|||||
Таким образом, это слагаемое не равно нулю при соблюде нии следующих условий:
|
п > |
2; |
m = |
3 + |
I (п + 1); v = п — 2. |
||
Перейдем |
к |
коэффициентам |
c’nii v, определяющимся |
||||
формулой |
|
|
|
|
|
||
|
cm , v — v |Sv + 2« —m—2 |
—v-fl — |
|||||
_+ 1 |
v— m — 2 |
|
|
tt-f~ 1 |
|||
{R i |
Uk) |
2 |
cos(v—m —2) 2я (A— 1)] |
||||
fk |
|
||||||
|
|
|
|
|
k= i |
n +1 ) |
|
В первом слагаемом |
|
|
|
||||
|
^v+2 « -m -2 = ^ 0 |
при v + 2n —m —2 <C.n, |
|||||
|
|
|
t . e. m—v > n —2; ■ |
||||
112
|
h-m—v+ 1 |
0 |
при tn v — п — 1 -|-1 (п -[- 1); |
||
следовательно, оно не равно нулю при т — v — п |
|||||
+ Ц п + |
1). |
|
|
|
|
Второе слагаемое отлично от нуля при |
|||||
sin (v—т—2) |
п = |
0 ; |
v— т—2 |
+ /; v = m + 2 ± /(n -f 1). |
|
и I |
|
|
|
ti 1 |
|
Коэффициенты а'т<v определяются соотношением |
|||||
а'т , V = К |
, V {tR-m + sRf) + |
v # ™ lyhv+т+! 6v+m + |
|||
п — (m+ 1) |
|
|
|
||
+ 6m+1rf |
2 |
8P + v p (R T ip+m+l)hp+ m+i—hp+m+l) h p+v+l~ |
|||
P=1
- t R r (v+m+') 8v+ m K +m+1- d / ? r 2m 6v+ « Av+ m+ l].
Здесь первое слагаемое отлично от нуля при т = v. Второе слагаемое не равно нулю при v + т = п — 1, так
как hvjrm+ |
1 ф 0 |
лишь в этом случае. |
В третьем слагаемом |
|||||||||
hp+m-|_i, hp+m+i |
и |
Лр+v+i не равны нулю при соблюдении |
||||||||||
условий р + |
т + |
1 = |
п, |
р + v + 1 = |
п, |
которые |
||||||
совместны |
лишь |
при |
т = v. |
Кроме |
того, |
6P+V Ф 0 при |
||||||
р + v < п; |
следовательно, |
третье |
слагаемое |
не |
равно |
|||||||
нулю при |
tn = |
v, |
р + |
v < |
п. |
Два |
последних |
слагаемых |
||||
отличны от нуля при v + |
т -|- 1 = п, |
т. е. v + т = |
п — 1. |
|||||||||
Свободные члены системы уравнений имеют вид |
|
|||||||||||
, _ [ —Ri |
при m = 1 |
|
,, |
(—qnRRn при т = п |
||||||||
I |
0 |
при т ф 1 |
|
|
i |
0 |
при тФп |
|||||
Таким образом, из анализа коэффициентов при неиз вестных в системе (1.110) следует, что в рассматриваемом частном случае, когда внутренний контур кольца пред ставляет собой правильный п + 1-угольник со скруглен ными углами, система уравнений распадается на неодно родную относительно неизвестных съ сп+2, с2п+3, c3n+i,
..., ап, «271+1 . «зл+2 . ••• и однородную относительно ос тальных неизвестных, которые, следовательно, равны ну
лю. |
система для определения неизвестных, |
Окончательно |
|
не равных нулю, |
имеет вид |
113
v Cv “Ь 2 ^ ,п' v — dm
v — 1 |
|
v = n |
(tn= 1, fi-\- 2, 2я + |
3,...,л); |
|
|
|
||
|
|
|
|
(3.13) |
2 |
V |
2 |
v ^-v — d tn |
|
v = 1 |
|
v = 1 |
(m = n, 2ft~r 1, 3n + |
2,...,s). . |
|
|
|
Звездочка при суммах означает, что индекс сууммирования увеличивается на я + 1 при переходе к следующему значению.
Выпишем коэффициенты матрицы системы уравнений (3.13). Предварительно определим величину hn — R~nhh, которая выразится соотношением
h „ — R T n h 'n =-- Q n — R l 2n 9 n - = ^ r > |
|
||||
где |
|
|
|
Rin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H = qn (R\n~ |
1). |
|
|
Коэффициенты |
при cv в первых г |
уравнениях имеют вид |
|||
R m J ^ I _ R |
~ m — m y 2 t n - 2 |
R m — l при m = V |
.(3.14) |
||
Cm .v — 1 |
d |
1 |
1 |
F |
|
—VYv+m" 2 Rl~l M |
|
ПрИ |
|
||
Коэффициенты am, v в первых г уравнениях определят |
|||||
ся формулами |
|
|
|
|
|
tvym- v - 2 r - v- i м |
при v—т<Сп— 1 |
|
|||
t v R - m~ 2n Н |
при v—т ~ п — 1 . |
(3.15) |
|||
. О |
|
|
при v—т > п — 1 |
|
|
Коэффициенты Cm, v выразятся следующим образом:
— v R v ~ ' y V - m - 2 М Пр И т — v < ^ n — 1
Ст.У— —v H R \ - n~ l |
при т —v = п — 1. (3.16) |
о |
при т —v > n — 1 |
Здесь учтено, что, как легко проверить, при т > v
R v ~ l h'n-v+i— R'?+x rl~m- 2 М = 0.
Наконец, коэффициенты а'т, v имеют вид
__{tR~m-\-sR™ при m = v |
|
+т, v • |
(3.17) |
[О |
при т ф \ |
114
Свободные члены системы
R 1 |
т = 1 |
dm — |
— qnR~n т = п |
|
О |
т ф 1 |
О |
(3.18) |
|
’ |
тФп |
|||
Напряжения определяются следующим образом: на ходится величина Rx = 1 /R±* < 1, где Rx* берется из урав нения (3.2), затем вычисляются значения
п+1/ |
X |
qn — R4+l уп+1/п |
|
|
' у |
п Х + Г |
|
||
|
|
|||
и величины Н и М по формулам |
|
|||
H = qn {Rl»-\)-, |
М- |
|
R\n) |
(3.19) |
|
R \n+ 1 |
|||
|
|
|
|
|
Далее, по формулам (3.14)—(3.18) вычисляются коэффи циенты матрицы и свободные члены системы (3.13) и реша ется укороченная система линейных алгебраических урав нений относительно неизвестных cv и av.
Напряжения определяются по формулам, приведенным в § 6 главы 1, с учетом обращения некоторых неизвестных
в нуль и того обстоятельства, |
что все qv равны нулю, за |
||
исключением qn. |
|
|
|
Рассмотрим частные случаи. |
|
полуосями а и Ь. |
|
1. Внутренний |
контур — эллипс с |
||
Во всех формулах принимается п = 1. |
Тогда Rx* определя |
||
ется из квадратного уравнения |
|
|
|
r * 2 _ 2 \ ± 1 r * + L J |
= 0. |
||
1 |
А, + 1 1 |
Я.+ 1 |
|
Величины, необходимые для дальнейших вычислений, рав ны:
- / г а |
X —1 |
<7i="А.+ 1Rl; H = gi( R l - i y , |
|
|
( l - R D ( R l - q l ) |
|
Rf |
2. Внутренний контур — правильный треугольник со скругленными углами (п = 2). Уравнение для определения Ri* имеет вид
3 R f — 2(2 + е)Р*2 f 1= 0 .
115
Остальные величины
3 |
м |
9— llflf +2fff |
н = ч Ж х - 1); |
QRi |
|
|
|
3. Внутренний контур — квадрат со скругленными уг лами (п = 3). Значение Rx* определяется из уравнения чет вертой степени:
R \4 — 2 V * ± f .R \3 + ^ = Л = 0, 1/2+1 1/2+1
а входящие в расчетные формулы величины определяются по формулам
= 1 / |
3 у 2 — 1 |
<?з' |
_ 1/2-1 |
RU Я = д 3(^6_1); |
" V |
1/ 2 + 1 |
|
“ 1/2+1 |
|
-RV) —3gf (i ■-Л?)
М-
R\
Коэффициенты системы уравнений определяются соот ношениями (3.14)—(3.18) с учетом в каждом случае соот ветствующего значения п.
2. Анализ напряженного состояния тоннельных обделок эллиптической формы
Исследовалось влияние на напряженное состояние об делки эллиптической формы ее геометрических параметров: отношения полуосей внутреннего контура Я = а!Ъ и отно сительной толщины обделки е = 8/Ь, где б — толщина по оси Ох, а также отношения модулей деформации материала
обделки |
и окружающего выработку породного массива |
||
ЕХ1Е0. Всего рассмотрено 16 случаев. |
|||
При е = 0,3, ЕХ!Е0 = 1,25 и |
= v0 = 0,3 рассмотре |
||
но пять |
вариантов поперечного сечения обделки: при |
||
Я=1,25; |
1,5; 2; 2,5; |
3. Затем при отношении £'1/£'0= 1,25 |
|
и 0,5; |
= v0 = 0,3 |
для обделки |
Я = 1,5 исследовалась |
зависимость напряженного состояния от относительной тол щины обделки, которая последовательно принималась равной: 6= 0,1; 0,3; 0,5 и 1. И, наконец, с целью выяснения влияния деформационных характеристик обделки и мас сива на напряжения в обделке рассматривалась обделка
сЯ = 1,5и 8 = 0,3 при отношении Ех/Е0 = 0,25; 0,5; 1,25; 2 и 3,5.
116