Файл: Основы динамики сооружений учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 77

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Умножив обе части равенства на т(х) и поменяв их местами, получаем

 

=

 

(д)

 

п-1

 

 

Данное

выражение представляет собой разложение импуль­

са s(x),

распределенного по

длине балки, в ряд по

функ­

циям Х п (х), характеризующим

главные формы колебаний

и на­

зываемым иногда собственными функциями. Таким образом, по­

стоянные

А„, которые мы должны определить из выражения

(д),

могут быть найдены как

коэффициенты этого ряда. Для этого

поступим

так же, как и

при

определении

коэффициентов

ряда

Фурье. Умножим обе

части равенства (д)

на какую-либо

одну

собственную функцию,

например Х т(х), и проинтегрируем их от

нуля до I:

I

 

і

со

 

 

 

 

 

 

j

s (х) Х т (х) dx =

j‘ Х т (х) 2 A nwnm (х) Х п (х) dx.

 

О

 

 

0

я = 1

 

 

Развернем сумму в правой части этого равенства и проинтегри­

руем каждое слагаемое в отдельности:

 

 

 

I

 

 

I

 

 

 

s (х) Х т (х) dx —

j т (х) Х х(.х) Х т (х) dx -ф

 

о

г

 

о

 

 

 

 

 

 

 

•ф Л2Ш2 j* tn (л:) Х%(л) X т(л:) dx -ф ... -ф

0

2

+ -4л $ т (X) х п (х) Х т (х) dx -ф 0

1

-ф A n+\<s>n+\ J tn (jc) Х п+\ (X) Х т(.х) dx -ф ...

0

Правая часть полученного выражения состоит из бесконечного числа слагаемых, содержащих интегралы вида

1

 

оJ т

(■ #) х п ( х

) х

т ( х ) dx.

 

 

Однако в силу ортогональности

функций,

описывающих глав­

ные формы колебаний

(см. §

15), все интегралы,

имеющие

в подынтегральном

выражении

произведения

неодинаковых соб­

ственных функций

(если

тфгі),

обращаются

в нуль.

В правой

части останется только одно слагаемое с интегралом, содержащим произведение одинаковых функций Х п(х). Таким образом, будет

I

I

I s (л) Х п {х) dx =

Ап<лп j tn (x) X n2 (x) dx.

о

0

.170

Отсюда получаем формулу для вычисления постоянной А п:

г

j s(x) Х п(лс) dx

1 о

(е)

^т{х) Х п2 (х) dx

о-

Коэффициенты А п, определяемые по этой формуле, представ­ ляют собой коэффициенты разложения в ряд по главным формам колебаний распределенного импульса s(x) и являются по своему физическому смыслу амплитудами главных форм колебаний. Подставив значения А п в выражение (б), получим окончательное выражение для определения прогиба балки в различных ее точ­ ках в любой момент времени при действии мгновенного импульса:

 

г

 

*

J s (х) Х п (х) dx

 

у ( X , 0 =

---- ------------------------ Х п {х) sin со/.

(9.3)

л- i

" JГ m ( x ) X 2n(x)dx

 

 

о

 

Пусть мгновенный импульс действует не в начальный момент времени, а в момент t = u. Перенесем начало отсчета времени к мо­

менту t = u, т.

е. перейдем к новой переменной t = t — и.

В этом слу­

чае в

выражении

(9.3) вместо sin со/ необходимо

подставить

sin со/ =

sin <ол (t — и).

Тогда будет

 

 

 

 

 

I

 

 

 

~

j

s (/) Х п(л;) dx

 

У (х, 0 =

~

1----------------------

Х п (х) Sin CD„ (t — и) du. (9.4)

 

 

п=1

[ т (х) Х 2п (х) dx

 

 

 

 

о

 

 

Пример 13. В качестве примера рассмотрим действие на простую балку равномерно распределенного по длине балки импульса s. Балка имеет постоян­ ную жесткость Е І и постоянную по ее длине погонную массу т. Известно

(см. § 16), что главные формы колебаний простой балки имеют вид

*„(•*) = Sin

а частоты колебаний определяются по формуле

я2я2 и ГEl

„п

“ и = -г-

I / — =

пЧ .

I-

I т

 

где га=1, 2, 3, ... ;

 

(при я=1).

<йі — частота первого тона колебаний балки

171

Вычислим интегралы, входящие в знаменатель и числитель выражения (9.3):

I

 

I

 

 

I

ппх

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ml

’

 

 

 

 

 

 

~2

 

 

Г

 

Ппх

si

 

 

 

s (х) Х п (х) dx — 5 I sin —j - dx = — (1 —cos me).

 

Так как при нечетных значениях

я

соэпя = —1, а при

четных значениях п

cosnre=l,

то получаем,

что при п = 2,

4,

6 , ...

интеграл в

числителе выраже­

ния (9.3)

обращается в

нуль, а поэтому соответствующие

слагаемые

суммы

в данном выражении выпадают.

 

 

 

 

 

Этого следовало ожидать, так как импульс, распределенный по балке равно­ мерно, является симметричным, а поэтому представляется естественным, что он должен вызывать только симметричные формы колебаний, т. е. формы колеба­ ний с нечетными значениями я. При п —1, 3, 5 ,...

I

I

ппх

si

Г

С

I sX n (х) dx = s

1

sin —j - dx =

2 — .

бо

Подставляя значения вычисленных интегралов, частоты колебаний со„ и соб­ ственной функции Х п (х) в уравнение (9.3), получим выражение для прогиба балки:

00

 

9 si

 

 

У (•*. 0 = V

1

ПП ппх

Я2* 2 Л Г E l

Sin —— Sin Я2<0^ :

 

' "У

 

~ W У m

2

П = 1, 3,

5,

 

4sP

1

ппх

лз у Ш

sin —j—sin я 2м,£.

 

 

/1 = 1 , 3, 5 ,. . .

 

Заметим, что в момент времени, равный четверти периода основного тона свободных колебаний, функция sin n2®d получит одновременно для всех главных форм колебаний максимальное значение, равное единице. В самом деле, пусть

'X = 2«! ’ тогда

sin

= sin «2 = 1 (при п = 1, 3, 5 , ... )

Поэтому уравнение изогнутой линии балки при ее максимальном отклоне­ нии в случае колебаний от действия мгновенного равномерно распределенного импульса имеет вид

 

I1

^

1

ппх

 

4S/2

 

 

 

(ж)

шах у (х) :

шElm,

 

^

sin ~ r -

-3 у

 

 

 

 

/1= 1, 3,

5 , . . .

 

 

Определим максимальный прогиб в середине балки при х = —

4s/2

ѴЧ

1

Пп

max у

Ь

^

sinT -

пз У Ein

/1= 1, 3, 5, . . .

172

Значение вошедшей сюда бесконечной суммы известно из курса математики:

 

1

пк

,

1

1

1

лЗ

2

із sin ~ 2

1 — Зз + 5з

73

; 32 ’

/1 = 1, 3,

5 , . . .

 

 

 

 

 

 

С учетом этого получаем

 

sP

тс3

1

Si2

 

Ушах =

 

 

 

У'Elm

32

8 |

£ /m ’

 

 

* 3

 

 

 

 

 

 

sP

 

 

 

 

) max • : 0,125

 

(з)

 

 

 

 

 

у Elm

 

Имея уравнение изгиба балки при максимальном отклонении в процессе колебаний, можно определить максимальные значения изгибающего момента в любом сечении балки, используя зависимость

 

М=*

(Ру

 

 

 

 

 

— £/ dx 2 '

 

 

 

 

Продифференцируем дважды уравнение (ж ):

 

 

 

 

[шах у (х)]

 

 

4s

^

1

 

п~х

dx'2-

 

я У Elm

■‘”J

—sin

 

J—

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/1= 1, 3,

5, . . .

 

 

 

и подставим в приведенное выше выражение

дифференциальное уравнение

изгиба балки:

 

 

 

 

 

 

 

 

max М

тс

г

т

"

/г

*

 

(и)

 

 

 

 

 

 

я —1, 3, 5, .

 

 

 

 

Определим изгибающий момент в середине балки при

х =

2 '

, l £

l / «

2

i

sl„

'

 

 

■к

У

m

 

n

2

 

 

л = 1, 3, 5, . . .

Значение вошедшей сюда бесконечной суммы известно из курса математики:

2

1 Пг.

1 1 1

-и

— sin

= 1 — 3 - + 5 - — т +

••• = Т -

л = 1, 3, 5, . . .

Подставив это значение в предыдущее выражение, получим весьма простую формулу для определения наибольшего изгибающего момента в середине простой балки от равномерно распределенного по длине балки мгновенного импульса:

ш

 

М - У т

( к )

§ 38. Действие нагрузки, меняющейся во времени

 

по произвольному закону, на систему с бесконечным числом

 

степеней свободы

 

Как и в предыдущем параграфе, будем рассматривать в ка­ честве системы с бесконечным числом степеней свободы балку с произвольными опорными закреплениями с массой т(х) и жест­

173

Смотрите также файлы