ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 81
Скачиваний: 0
Величина импульса в рассматриваемом случае действия крат ковременной силы
5 = |
(7.41) |
Найдем отношение максимального перемещения утах к макси мальному перемещению у^ах. Обозначим это отношение бук
вой k :
k = Ушах
Ѵ°
J шах
Подставим сюда значения перемещений (7.34) и (7.40) и, вы полнив очевидные преобразования, получим
|
|
|
Pjn |
|
k — |
Ушах |
^дУст_____ Г |
(7.42) |
|
Ѵ° |
SitTl^ |
РтТ- Ш |
||
|
J шах |
|
|
|
~ 2 ~ ' 7
Значения коэффициента k, вычисленные для различных отно шений т/Т, приведены в табл. 4.
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 4 |
-\Т |
'k |
ЧТ |
k |
хІТ |
k |
0 ,0 |
1 ,0 0 0 |
0,9 |
0,533 |
1 , 8 |
0,3076 |
0 ,1 |
0,987 |
1 , 0 |
0,494 ' |
1,9 |
0,292 |
0 ,2 |
0,958 |
U |
0,459 |
2 , 0 |
0,280 |
0,3 |
0,905 |
1 , 2 |
0,429 |
2,5 |
0,2297 |
0,4 |
0,836 |
1,3 * |
0,403 |
3,0 |
0,195 |
0,5 |
0,762 |
1.4 |
0,379 |
4,0 |
0,150 |
0 ,6 |
0,695 |
1,5 |
0,358 |
5,0 |
0 , 1 2 1 |
0,7 |
0,633 |
1 , 6 |
0,3397 |
1 0 ,0 |
0,062 |
0 ,8 |
0,578 |
1,7 |
0,322 |
ОО |
0 ,0 0 0 |
Зная коэффициент k, учитывающий длительность действия кратковременной силы при расчетах по мгновенному импульсу, максимальное перемещение у тах определяем по формуле
у |
= ку° . |
-'max |
-'шах* |
Глава 8. ДЕЙСТВИЕ НЕПЕРИОДИЧЕСКОЙ
ДИНАМИЧЕСКОЙ НАГРУЗКИ НА СИСТЕМЫ
СНЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ
§34. Действие мгновенного импульса на систему
снесколькими степенями свободы
Представим себе, что в момент времени t —0 на каждую из масс системы подействовали мгновенные импульсы Sk. После воз действия импульсов система стала совершать свободные колеба ния, описываемые решением (3.12),
я |
|
Уи = Е р* А ц 81п К * + Т() |
(а) |
где £ = 1,2, . . . ,п.
Для определения постоянных А пі и ^ используем начальные условия, характеризуемые отсутствием начальных перемещений всех масс и наличием начальных скоростей их, которые могут быть определены с помощью закона об изменении количества дви жения.
Аналитически начальные условия могут быть записаны в сле дующем виде:
при t = О
(б)
Определим скорость перемещения масс, продифференцировав выражение (а):
П
(в)
11 Основы динамики сооружений |
161 |
Из первого условия (б)
П
Yi ?kiAn i ^ ’u = о. 1
Этому уравнению можно удовлетворить, если принять, что все начальные фазы равны нулю:
Т/ = °*
Из второго условия (б), используя (в), получим
п |
|
Sk- |
(г) |
І=1 |
|
Как видим, задача свелась к разложению импульсов S k |
на со |
ставляющие по формам колебаний и к определению коэффициен
тов разложения А пі. Для |
определения А пі |
умножим левую и |
правую части (г) на pkJ\ |
П |
|
|
|
|
m kPkj £ |
РкіА піті = S k P k r |
( д ) |
І = 1 |
|
|
Выражения типа (д) составляем для каждой массы, т. е. пола гаем в выражении (д) k = l , 2, . . . , п. Далее суммируем левые и правые части полученных равенств:
п |
п |
п |
|
(е) |
I! |
IIР/И/Л= I!S/tPftr |
|
||
А- 1 |
і= 1 |
k=\ |
|
|
Развернем вторую сумму в левой части выражения |
(е): |
|||
П |
|
|
|
|
£ m kPkj (Pk\A n\w l + |
Pk1A n2^i + |
• • • + РкіА піШі + |
• |
• • + |
“I PknA nn<ün) |
п |
|
|
|
£ ^kPkj' |
|
|
||
|
|
k=\ |
|
|
Так как A ni и u>t не зависят |
от индекса k, то |
последнее ра |
||
венство может быть представлено после перегруппировки в таком виде:
|
п |
п |
|
|
^ и 1 ш 1 |
I j m k ? klP kjJr |
А п2ш2 £ m kPk2?kjJr • • |
. . |
+ |
|
к =1 |
k=l |
|
|
п |
|
п |
|
п |
А піші I j |
^ k P k iP k j + • • • |
+ А ппшп I j ^ k P k n P kj = |
I |
j ^kP kj- |
k ~ \ |
|
fc=l |
k=\ |
|
В левой части полученного выражения все слагаемые, у кото рых j=hi, по свойству ортогональности (3.11) обращаются в нуль, и поэтому будем иметь
ПП
A niw i I j m kPki = |
£ S kP ki' |
k= \ |
k= \ |
162
Отсюда получаем формулу для определения коэффициента раз ложения импульса Sk, действующего на массу тю по главным
формам:
п
|
1 |
I] SkPki |
|
А |
ft-1 |
(8. 1) |
|
пі ' |
п |
S mk[>h ft=i
Подставив значение A ni в (а), получим выражение, опреде
ляющее перемещение массы:
П
П
|
Уь = S |
“Г ' “п т 1--------sin |
(s-2) |
||||
|
|
£—1 |
i |
V |
2 |
|
|
|
|
2 j m kPki |
|
|
|||
|
|
|
*-l |
|
|
|
|
В случае |
если к |
некотором |
массам |
импульсы |
не приклады |
||
ваются, то в числителе выражения |
(8.1) |
соответствующие слагае |
|||||
мые под знаком суммы обращаются в нуль. |
|
||||||
Если мгновенные |
импульсы S k |
подействуют на систему в мо |
|||||
мент времени |
t = u, |
то перемещения ее |
масс будут |
определяться |
|||
выражением, которое можно получить из (8.2). Перенесем начало отсчета времени к моменту t = u и заменим в выражении (8.2) пере
менную t на t—и, тогда получим
П
пSkPki
У |
---------sin (t и). |
(8.3) |
i |
V ^ 2 |
|
i= 1 |
m k?ki |
|
k=l
§ 35. Действие нагрузки, меняющейся во времени по произвольному закону, на систему с несколькими степенями свободы
Кратковременные нагрузки, действующие на массы системы, можно представить в виде суммы бесконечного множества элемен тарных мгновенных импульсов Pk (и) du. Пользуясь формулой (8.3) предыдущего параграфа, составим выражение для элементарного перемещения масс системы при действии на них в момент вре мени t = u элементарных импульсов dSk = Pk (u) du:
П
пЦ/>*,(«)
dy ^ Y i ?f - k=X |
-------------- sin (t и). |
1 |
V ^ 2 |
i =1 |
2 j ftlfrpki |
I I s |
163 |
Для определения перемещения масс системы к моменту вре мени t от действия кратковременных нагрузок Pk(t) последнее выражение необходимо проинтегрировать в пределах от нуля до
рассматриваемого момента времени t. Тогда получим
П
п t S P k ( и ) Рkl
Уи (t) = 2 ~ |
‘ |
f |
V |
-------- -- sin (* - и) du• |
(а) |
І=1 |
J |
2 |
|
||
|
о |
2 j m kPm |
|
||
k=\
Заметим, что дробное выражение под интегралом, содержащее в числителе и знаменателе суммы по индексу к, представляет со бой не что иное, как коэффициент разложения нагрузок Pk (і) в ко нечные’ ряды по главным формам колебаний. Действительно, пред ставим функции Pk (t) в виде
П |
|
р к Ѵ) = £ РщЩРы• |
(б) |
і=1 |
|
Определим значение коэффициентов разложения Рп1, поль зуясь тем же приемом, как и в предыдущем параграфе при разло жении на составляющие импульсов S k по формам колебаний. Умножим левую и правую части уравнения ,(б) на
/ |
п |
PkjP k (t) = |
Рkjm k £ РціРкі- |
|
і- 1 |
Выражения такого вида составляем для каждой массы, т. е. по лагаем в последнем равенстве поочередно k= 1, 2, 3 , ... , п. Про суммировав левые и правые части всех равенств и используя свой ство ортогональности (3.11), как в предыдущем § 34, получим
£ p k ( t ) РЫ = р пі £
А=1
И Л И
I , p At) Pki
Р п і= Р піѴ) |
ft-1_______ |
|
(8.4) |
||
П |
|
||||
|
|
|
£ mkP« |
|
|
|
|
|
k=\ |
|
|
Тогда выражение |
(а) |
для |
определения |
перемещения |
масс |
в этом случае будет иметь вид |
|
|
|
||
|
П |
t |
|
|
|
Ук (0 = |
2 |
I |
sin “Z^ ~ |
м) |
(8.5) |
|
( - 1 |
о |
|
|
|
164