Файл: Основы динамики сооружений учеб. пособие.pdf

Максимальные перемещение и изгибающий момент будут возникать посере­ дине балки при х = //2 :

Подставим значения сумм в (е) и (ж), тогда получим выражения для определения максимальных значений прогиба и изгибающего момента в среднем сечении простой балки при действии внезапно приложенной равномерно распреде­

8(?/2 *3 _ <?/2 -^з"'32 ~ Т '

Из курса сопротивления материалов известно, что при статическом действий равномерно распределенной нагрузки интенсивностью q прогиб и изгибающий Момент в середине балки соответственно равны:

Таким образом, при действии внезапно приложенной равномерно распреде­ ленной нагрузки на простую балку прогиб и изгибающий момент увеличиваются вдвое по сравнению со статическим действием той же нагрузки, и, следовательно, динамический коэффициент £д оказывается равным 2. Такой же динамический коэффициент (см. § 29) имеет место при действии внезапно приложенной на­ грузки на систему с одной степенью свободы. Необходимо отметить, что при действии внезапно приложенной нагрузки на балки с другими опорными закреп­ лениями, а также на другие конструкции, если их рассматривать как системы с бесконечным числом степеней свободы, динамический коэффициент будет мень­ ше двух, так как максимумы в различных главных формах колебаний будут наступать в разные моменты времени. Простая балка на шарнирных опорах оказывается в этом отношении исключением.

Глава 10. ПРИБЛИЖЕННЫЙ РАСЧЕТ КОНСТРУКЦИЙ

НА ДЕЙСТВИЕ КРАТКОВРЕМЕННОЙ НАГРУЗКИ

§ 40. Общие положения

Приближенные расчеты обычно сводятся к тому, что систе­ мы с бесконечно большим числом степеней свободы, какими явля­ ются все реальные конструкции, заменяются системами с конеч­ ным, возможно . меньшим числом степеней свободы, Наиболее

полуволне в пределах пролета. Поэтому можно принять, что в лю­ бой момент времени кривая, по которой изгибается балка, является синусоидой:

y = T { t ) sin у ,

181

где Т (t)— некоторая функция времени t. Этим самым мы получили возможность рассматривать балку как систему с одной степенью свободы, так как положение любой точки балки теперь опреде­ ляется значением одного параметра T(t). Частота колебаний балки при этом равна частоте первого тона ее собственных коле­ баний:

(О 1

Если на простую балку действует обратно симметричная на­ грузка (рис. 80,6), то будут возникать колебания по второй глав­

Частота колебаний будет равна частоте второго тона ее собствен-

чей волны какого-то одного тона. Кроме того, в процессе колебаний форма изгиба балки будет существенно меняться. В этом случае расчет балки как системы с одной степенью свободы может при­ вести к ошибочным результатам. Переход к системе с одной сте­ пенью свободы даст тем более точные результаты, чем ближе закон распределения нагрузки будет соответствовать одному из членов ряда (9.5) разложения нагрузки по главным формам. Это естест­ венно, поскольку ранее (см. § 38) было установлено, что нагрузка,

182

ния предполагаемой формы колебаний конструкции следует вы­ числить соответствующее ей значение частоты колебаний. Если не известно точное значение частоты, то она определяется приближен­ но с помощью энергетического метода или метода приведения массы. Знание частоты колебаний и закона изменения нагрузки во времени позволяет определить эквивалентную статическую на­ грузку по формулам, полученным в главе 7. Если закон измене­ ния нагрузки во времени отличается от рассмотренных в главе 7, то методами этой главы производится динамический расчет и определяется эквивалентная статическая нагрузка. После опреде­ ления эквивалентной статической нагрузки выполняется статиче­ ский расчет конструкции на ее действие методами строительной механики. Приближенный расчет по такой схеме применим не только к балкам, но и к любым другим конструкциям (к плитам, оболочкам, рамам, аркам и т. д.), если соблюдаются условия, сформулированные выше.

§ 41. Приближенный расчет балок на действие мгновенного импульса

Рассмотрим стержень с любыми опорными закреплениями, на который нормально к его оси действует мгновенный импульс, рас­ пределенный по длине стержня по какому-то закону s(x). Будем считать, что форма изгиба стержня при его колебаниях после воз­ действия импульса наиболее близко соответствует первой главной форме колебаний, совершаемой с частотой coj. Поэтому можно счи­ тать, что стержень будет вести себя как система с одной степенью свободы и для его приближенного расчета может быть применен результат, полученный в § 27 главы 7. Этот результат формули­ руется следующим образом: динамический расчет системы с.одной степенью свободы на действие мгновенного импульса S может быть заменен статическим расчетом на действие эквивалентной стати­ ческой нагрузки, определяемой по формуле (7.12):

^экв = 5<о, ■

где о) — круговая частота свободных колебаний системы. Приме­ няя данный вывод к рассматриваемому стержню, получим выра­ жение для распределенной эквивалентной статической нагрузки:

Ржв(х) = s(x) «о.

После определения эквивалентной статической нагрузки расчет может быть произведен методами сопротивления материалов.

Пример 16. Пусть на простую балку действует равномерно распределенный по ее длине импульс s. Балка имеет постоянную жесткость поперечного сече­ ния на изгиб ЕІ и постоянную по ее длине погонную массу от. Принимаем, что изогнутая ось балки при ее колебаниях при воздействии импульса будет иметь

183