Файл: Основы динамики сооружений учеб. пособие.pdf

Глава 3. КОЛЕБАНИЯ УПРУГИХ СИСТЕМ

СНЕСКОЛЬКИМИ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

§6. Дифференциальные уравнения свободных колебаний

Вкачестве модели упругой системы с несколькими степенями свободы рассмотрим невесомую однопролетную балку, пролет ко­

пущений видно, что положение каждой массы определяется одним параметром — ее перемещением по вертикали (рис. 17, а). Следо­ вательно, исследуемая система имеет п степеней свободы и харак­

теризуется п значениями частот свободных колебаний.

t

Рассмотрим свободные колебания, при которых сосредоточен­ ные массы будут совершать некоторые малые перемещения около положения равновесия невесомой балки. Обозначим эти переме­ щения через у 1, г / г , , У,г Все они являются функциями времени. Зная их, можно установить взаимное положение масс для любого момента времени. Очевидно, что эти перемещения равны прогибам балки в точках приложения соответствующих масс.

30

В процессе свободных незатухающих колебаний на балку бу­ дут действовать только силы инерции / і, / 2, . . . , которые и определяют деформированный вид балки. Тогда, применяя прин­ цип независимости действия сил, перемещение каждой массы можно представить в виде суммы перемещений:

они обычным способом. Следует отметить, что на основании теоре­ мы о взаимности перемещений 8д = Ьк..

Входящие в (3.1) силы инерции определяются следующими

bmmi + ьпчт2 ddtaУ2 + ... + I KnM n^fti+Уп ) = 0.

Это и будут дифференциальные уравнения свободных колеба^ ний системы с конечным числом степеней свободы.

31

§ 7. Определение частот свободных колебаний

Для системы с п степенями свободы возможны п различных частот свободных колебаний, которым будут соответствовать п воз­ можных форм колебаний. В пределах каждой из возможных форм колебаний все точки будут колебаться с частотой со и начальной фазой Т-

В соответствии с этим для перемещений у будем иметь:

Уі = A sin («>£+т);

Уг‘ = Л2Sin (a>t + f);

Ун = А п s i n Ы + к ) ,

где А и А 2, .. Ап — амплитуды колебаний масс ти т2, . . ., тп.

Из (3.4) видно, что если массы системы колеблются с одной и той же общей для всех их частотой со, то форма колебаний системы не зависит от времени, т. е. для каждого момента времени отноше­ ние перемещений масс к перемещению любой из них остается вели­ чиной постоянной.

Такие колебания, при которых все точки системы с п степенями свободы колеблются с одинаковой частотой, а форма колебаний при этом не зависит от времени, называются главными колеба­ ниями, а их формы колебаний — главными формами.

Дважды продифференцируем по времени равенства (3.4):

Подставим значения у и их вторые производные в систему урав­ нений (3.3). Нетрудно заметить, что каждое слагаемое в каждом уравнении (3.3) содержит общий множитель sin(co/ + f), на кото­ рый можно сократить все члены этой системы. После сокращения получим

( onml(o2 1) А х-)- §j,/w2(i>M2 —}—. . . —f— птпи>2Ап = О,

Ь21т1ш2А 1-j- (Ъ22т2и>2— 1) A 2+ . . . + Ъ2птп<й2Ап — О,

8«і^і°>М1+ 8д2да2<о*Л2+ .. . + {Ъ„пт„ш2- 1)Л„ = 0.

32

Система уравнений (3.5) является системой линейных однород­ ных уравнений относительно амплитуд А и А2, .. Ап колебаний масс. В эту систему кроме п неизвестных амплитуд входит неиз­ вестная величина Я.

Тривиальное решение системы (3.5), когда все А равны нулю, а Я — любое, нас не интересует, так как этот случай соответствует отсутствию колебаний упругой системы. Чтобы система линейных относительно А однородных уравнений была удовлетворена при не­ нулевых значениях амплитуд А (имеет место колебательный про­ цесс), необходимо определитель системы, составленный из коэф­ фициентов при А, приравнять нулю:

Если уравнение (3.6) раскрыть, то получим алгебраическое уравнение п-ой степени относительно параметра Я. Уравнение в форме (3.6) или в развернутой форме носит название уравнения частот. Оно впервые было получено в астрономии. Это уравнение получило в литературе название векового уравнения.

Таким образом, для систем с п степенями свободы имеем п раз­ личных значений частот свободных колебаний, каждой из которых соответствует своя строго определенная форма колебаний. Сово­ купность всех частот, расположенных по возрастанию их числен­ ных значений, носит название спектра частот. Наименьшая частота из этого спектра, обозначаемая ац, называется основной частотой или частотой основного тона свободных колебаний.

При п > 4 получить решение частотного уравнения в замкнутой форме невозможно. Существуют приближенные способы решений системы (3.6).

Наибольший интерес представляет низшая (основная) частота, так как в большинстве практических случаев при расчете на дей­ ствие вибрационной нагрузки требуется, чтобы частота вынужден­ ных колебаний была меньше основной частоты а>і. Для нахожде­ ния же со1 необходимо знание наибольшего корня частотного урав­ нения. Для определения наибольшего корня разработаны приемы, которые подробно рассматриваются в специальной литературе. На них мы останавливаться не будем.

§ 8. Определение главных форм колебаний

При решении частотного уравнения (3.6) получены п значений частот со, при которых система дифференциальных уравнений (3.3) допускает п частных линейно независимых решений вида (3.4), представляющих главные колебания. Сумма частных решений бу­ дет являться общим решением системы уравнений (3.3). Таким образом, в общем случае перемещение любой из масс упругой системы с п степенями свободы можно представить как сумму перемещений этой массы по п главным формам колебаний, т. е.

ПП

мера частот свободных колебаний и соответствующих им главных форм колебаний, из которых складывается движение &-ой массы.

Для нахождения главных форм колебаний необходимо знать амплитуды A ki. Они входят в систему уравнений (3.5), в которой значение X считается уже определенным и равным Хг.

Однако абсолютную величину Ам даже при известных Xtнепосредственно из уравнений (3.5) определить нельзя, так как эти уравнения не содержат свободных членов, т. е. являются одно­ родными. Они (амплитуды А ы) могут быть найдены лишь с точ­ ностью до любого постоянного множителя, т. е. могут быть най­

Определим отношения амплитуд, для чего преобразуем систе­ му (3.5), разделив в ней все уравнения, например, на А п. Введем следующие обозначения:

34

Но это уже система неоднородных уравнений. В каждом из урав­ нений имеются свободные члены. Следовательно, можно найти все неизвестные р. В силу того, что уравнений больше, чем неизвест­ ных, уравнения системы (3.8) не являются независимыми. Любое из них может быть получено из комбинации остальных.

Для нахождения неизвестных рь р2, ..., рл-і можно взять любые, например, первые п—1 уравнения системы (3.8). Тогда последнее уравнение при найденных р тоже будет автоматически удовлетворено. Коль скоро со или %имеют п разных значений, то,

С помощью главных форм существенно облегчается исследо­ вание вынужденных колебаний системы с несколькими степеням» свободы, так как в силу независимости главных форм вынужден­ ные колебания можно представить п независимыми дифференци­ альными уравнениями.

§ 9. Ортогональность главных форм колебаний

Два деформированных состояния какой-либо упругой системы называются ортогональными, если работа внешних (внутренних) сил одного из них на соответствующих перемещениях (деформа­ циях) другого равна нулю.

Проверим выполнение этого условия для главных форм сво­ бодных колебаний.

Рассмотрим систему с п степенями свободы, два деформирован­ ных состояния которой соответствуют двум ее главным формам