Файл: Олянюк, П. В. Оптимальный прием сигналов и оценка потенциальной точности космических измерительных комплексов.pdf

w[q!y) = Kw(q) exp ( -

Э / Л д

/„ ( 2 Z ' / V 0 ) .

( I I I . 1.1)

Из

этой

формулы

видно,

что зависимость

плотности

веро­

ятности

от

величины оцениваемых параметров носит слож ­

ный нелинейный характер . В общем случае

закон

распреде­

ления отличается от нормального.

Однако

в случае приема сильных сигналов, который

имеет

наибольшее

практическое

значение, аргумент

бесселевой

функции

в

формуле

( I I I . 1.1)

значительно

превышает

еди­

ницу,

и

возможна

аппроксимация

этой

функции зависи­

мостью

I0(x) =

e-v : |

2кх

,

МЧ У) = K{w (q) exp (2Z.'/V0 ) exp ( -- 3,W 0 )

(III.1.2)

Д л я небольших

отклонений параметров

движения от

своих априорных значений можно воспользоваться

р а з л о ж е ­

нием показателей

экспонент формулы (III.1.2)

в

ряд Тей­

ложение,

получаем

2 (q)

- у

Э (q)

=

Z (qa ) -

i - 3 (q a )

Z\ ( q e ) -

(ft — Я ад

+

—

S

2

i.j

{Я l — ЯаМЯ]

— Яа)> + •

(III.1.3)

Здесь

q a

— априорное

значение

вектора

оцениваемых

пара ­

метров;

qai—

i-я с о с т а в л я ю щ а я

этого

вектора;

Z'L

( q j —

значение

первой производной

АК Ф по

составляющей

вектора

оцениваемых

параметров

.в

точке

q = q a ;

Z'ij (Ча ) — з н а ч е н и е

второй производной

АК Ф по г-\\

и /-й

составляющим

в этой ж е точке.

условная плотность

вероятности

приема

данной

реализации

и з о б р а ж а е т с я

гауссовой

кривой и распределение

является

нормальным .

Этот

случай

з а с л у ж и в а е т более обстоятельного

рассмотрении,

так

как удается

получить

простые

аналитиче ­

априорным значениям параметров движения .

Примем, что ошибки

априорных

данных подчиняются нор­

мальному

закону

распределения

и

плотность

вероятностей

и з о б р а ж а е т с я формулой

w

(q) =

С е х р

- • j

( q - q Q ) T

B - ' ( q - q n )

(III.

1.4)

где q a

— математическое о ж и д а н и е

вектора

априорных

з н а ­

чений

параметров

движения;

В 0

—

корреляционная

матрица

ошибок

априорных

данных.

П о д с т а в л я я

(III.1.3)

и

(III.1.4)

в

(III.1.2), получаем

сле ­

дующее векторное

соотношение:

w(q

у) =

Кг

exp j — -~

(q — q n ) T

B j ' f a -

q0 1 —

-L[3(qe )-2Z(qf l )J+J-(q-qe )

Z ' ( q J -

—

Э'

(qa )

+

N 0

Л'о

+ -L(q_qeyr

Z " ( q „ ) -

y 3 " ( q j

( q - q „ )

,

( Ш . 1 . 5 )

которое в развернутом виде может

быть

переписано

так:

(?) .

ft

. •

• • . 1тМ

=

Къ

exp

j - ~Y.

ill

—

Qal)

Baii

~

Я a

(

* /,/

1

2

—

а1

,

q„2, • • • ,

am

)—2Z{q„

u

q

a 2

, . . ,

О ] ' ! "

Wo

—

—

Л'о

\Э(д

O

iv

+

Qai)

71

Zu(</a\

• ЯаО,

qam)

—

1

(9J —

Яа})

•

При этом формулу дл я

апостериорной

плотности вероят­

ности можно привести к виду

МФ) = К->

Г

1

Л

Ч ) т В - 1 (q — q)

( I I I . 1.6)

ех р ]~

—

(q -

где q — значение

вектора

параметров, при котором дости­

гается максимум

апостериорной

плотности

вероятности.

раметров

движения .

Буквой

В

обозначена

корреляционная

матрица результирующих ошибок измерений.

Это

квадрат ­

ная

матрица,

размерность

которой

определяется

размер ­

ностью вектора

определяемых

параметров .

Произведя

соответствующие

преобразования,

получаем

Л

д л я

матрицы

В

и

вектора-столбца

q

следующие

соотно­

шения:

В - 1 =

в - 1

—

Z " ( q a ) - - | 3 " ( q 3

)

(III.1.7)

О L

А

2

В Z ' ( q e ) - y 9 ' ( q n )

(Ш.1.8)

которые

могут

оыть т а к ж е записаны

в виде

11 =

I

I

- -

1

Э], ( q e )

*Г?

о I

Zj(<\a)

II

^\\Э}(Ца)

З д е с ь Z" (q a )=

|| Z"u(qa)

\\ -—

матрица

вторых

производных

корреляционного

интеграла

по

определяемым

п а р а м е т р а м

д в и ж е н ия

(производные рассчитываются в точках, соответ­

ствующих

априорным д а н н ы м ) ; Z ' ( q 0 ) = || Zj(q„) || — вектор-

определяемым

п а р а м е т р

а м в тех ж е

точках.

Формулы

( П Ы . 7 ) и

( I I I . 1.8)

представляют собой алго­

возможность устранения к а ж у щ е й с я

неоднозначности

кро­

ется в избыточности измерительной

информации

с

одной

Остановимся

теперь на

свойствах корреляционной матри­

цы результирующих

ошибок измерений

( I I I . 1.7).

Если

на­

звать

элементы

матриц,

обратных

корреляционным

матри ­

цам

ошибок, мерами

точности, то

смысл

формулы

( I I I .

1.7)

татов измерений равна сумме мер

точности

априорных дан ­

ных и произведенных измерений.

Очевидно, что если точ­

ность априорных данных слишком

мала, то

первые слагае ­

ветствовать точности априорных данных.

В формулах (III.1.7) и (III.1.8)

фигурируют

производные

от корреляционного

интеграла

в

точке, соответствующей

априорным данным . Корреляционный интеграл

представляет

собой функцию, у б ы в а ю щ у ю по

мере увеличения различия

между априорными

и истинными

значениями

п а р а м е т р о в