Файл: Олянюк, П. В. Оптимальный прием сигналов и оценка потенциальной точности космических измерительных комплексов.pdf

мических объектов привлекает особое внимание, т а к как

поз­

воляет значительно

уменьшить объем

долговременной

памя ­

ти бортового запоминающего устройства и упростить

пере­

дачу эфемеридной информации .

П р и

небольших

эксцентриситетах

эллиптической

орбиты

или незначительных

углах

наклонения

в

некоторых

матема ­

тических

соотношениях,

описывающих

дифференциальные

уравнения движения КА, знаменатель устремляется к

нулю.

Это приводит к тому, что

точное интегрирование дифферен ­

циальных уравнений д в и ж е н и я в указанных областях

зада ­

ния параметров становится затруднительным или

д а ж е

не­

того, как будет

показано

ниже,

корреляционные матрицы

ошибок определения п а р а м е т р о в движения характерны

тем,

что при

подходе

к вышеуказанным

областям з а д а н и я

пара­

метров

численные

значения

ошибок

определений значительно

случае

обусловлено

свойствами пространства

параметров

как системы отсчета, принятой для физического

представле­

ния вектора состояния КА.

Д л я

того чтобы

решить задачу уточнения параметров дви­

жения

с требуемой

точностью для широкого класса орбит,

вается

на возможность

интегрирования

дифференциальных

уравнений движения с введением новых

систем

параметров,

однако

качественный и

количественный

анализ

изменения

Учитывая, что

информативным параметром принимаемого

сигнала

служит линейная

величина

(непрерывно измеряю ­

щ а я с я

в процессе наблюдения д а л ь н о с т ь ) , точностные

свойст­

ва измерительных

систем

целесообразно характеризовать

линейными о ш и б к а м и составляющих

радиус-вектора

и век­

диктован прежде

всего

тем,

что д л я

определения

парамет ­

ров д в и ж е н и я не требуется дополнительных

преобразований

над матрицей

вторых

производных

А К Ф сигнала .

К р о м е

т о г о , в декартовой прямоугольной системе

ковариантные

и

контвариантные

локальные

базисные

векторы совпадают

с

базисными векторами системы, в то

в р е м я

к а к

локальные

базисные векторы в ортогональных криволинейных

системах

отсчета

являются

функциями

точки.

Характерной

особен­

ностью

прямоугольных

систем

является и то, что

декартовы

представляют

собой

ортогональные

матрицы

вращения .

Поэтому

д л я

всех

прямоугольных

систем

отсчета

объем

эллипсоида

рассеяния

при определении параметров движе ­

ния остается одинаковым . П р и использовании

других

систем

Л ю б а я в ы б р а н н а я

система

параметров

д в и ж е н и я

слу­

ж и т д л я описания одного

и того

ж е закона

д в и ж е н и я

мате ­

риального

объекта . Поэтому, естественно, м е ж д у

различны ­

ми системами

существует

ж е с т к а я

однозначная взаимосвязь,

которая

может

быть в ы р а ж е н а

определенными

математиче­

скими

соотношениями.

Последние

д а ю т возможность осу­

ществить

т р а н с ф о р м а ц и ю

ошибок

определения

параметров

при переходе

из одной

системы

в

другую.

Однако,

п р е ж д е

чем перейти к исследованию точности определения

вектора

состояния

в

различных

пространствах

параметров,

необхо­

димо отметить

некоторые

принципиально

в а ж н ы е

положения,

к а с а ю щ и е ся различия межд у преобразованиями

координат и

их дифференциалов, и определить соотношения,

описываю­

щие эти преобразования .

Трансформация ошибок определения при

использовании

различных систем параметров (координат) к а к

систем от­

счета для представления вектора состояния КА

или наземно­

разования

дифференциалов составляющих

вектора

состоя­

ния, а не

матрицей преобразования

координат,

связь

м е ж д у

которыми

в ы р а ж а е т с я

с помощью

нелинейных

функциональ ­

ных зависимостей, вид

которых

в к а ж д о м

конкретном

случае

определяется составом оцениваемых параметров .

Допустим, что вектор состояния КА или наземного на­

блюдателя

в области

m-мерного

пространства

может быть

з а д а н с помощью различных систем

независимых парамет ­

ров q и g,

тогда к а ж д о й точке

(qt,

q%, . .

. ,

qm)

/n-мерного

поставлена

в

соответствие

упорядоченная совокупность

т

действительных чисел g\,

g2,

• • • , g„,<

представляющих

со­

бой значения

составляющих

конечной

системы

параметров

g. Элементы gt

вектора

состояния,

заданного в

пространст­

ве конечных

параметров g",

связаны

с составляющими

q}

исходной

системы q

соотношениями

£ l

=

g l ( 0 i .

0 2 . - .

Ят)>

ё2

=

ё2(Яп

Я2,

Я тУ,

• •

• I

ёт =

ёт(Яи

Я2,

•••>

Ят)>

(VI.2.1)

д {ёл<

ё2-

ёт)

,

о

^YJ 9 2)

д(Я»

Я2> •••» Ят)

^

Характерно, что

если

уравнения

(VI.2.1)

определяют

связь м е ж д у декартовыми

системами

координат,

вообще го­

только в этом случае

все

уравнения линейны

и могут быть

записаны с помощью

линейного оператора

преобразования

gnP =

JnP qnp-

(VI.2.3)

р а с т е р и з у ю щ ую поворот

исходной

системы

координат на

угол

г|з вокруг

одной

из ее осей. М о д у л ь

якобиана

матрицы

преобразования

равен

единице. Пр и этом, та к как элементы

матрицы

J n p не зависят

ни от составляющих

вектора

gn p .,

ни

от составляющих

вектора

q n p , для преобразования

д и ф ­

ференциалов

координат

будет

справедливо

соотношение

d g „ p = J d q n p .

(VI . 2 . 4)

П р и

использовании

декартовых

систем

линейность

соот­

ношений

(VI.2.1) сохраняется

и дл я случая, когда

опреде­

ляемый

вектор

состояния

является

полным,

шестимерным,,

т. е. производится

уточнение

не только

координат,

но и со­

ставляющих

вектора

скорости. Однако

в этом

случае лучше-

-говорить

не о преобразовании

координат

и их д и ф ф е р е н ц и ­

алов,

а о преобразовании

составляющих

вектора

состояния-

и их дифференциалов, так ка к при использовании

определен ­

ной

пространственной

координатной

системы

дл я характе ­

ристики

вектора

состояния

могут

применяться

различные

системы

параметров .

Кроме

того,

разграничение

позволит

провести

четкую

лрань

межд у

преобразованиями

парамет ­

ров,

характеризующих

только

пространственное

положение,,

и параметров,

используемых

дл я описания

пространственно-

временного состояния движущегося объекта. Следует

д о б а ­

вить, что в большинстве случаев м а т р и ц ы

п р е о б р а з о в а н и я

координат и их дифференциалов

являются

составными

эле ­

ментами

формул

преобразования

составляющих

шестимер -

нбго

вектора

состояния

и их дифференциалов

при представ ­

лении данного вектора в различных пространствах

парамет ­

ров

ка к системах

отсчета. Поэтому

такое

разграничение з н а ­

чительно

облегчает дальнейшее

изложение

материала .

П р е о б р а з о в а н и я составляющих шестимерного вектора

состояния и

их дифференциалов, отнесенных

к

различным

прямоугольным

системам

координат,

описываются

квазидиа ­

гональными

матрицами,

диагональными

блоками

которых

с л у ж а т матрицы

н а п р а в л я ю щ и х

косинусов

gnp

Jnp

о

ЯПР.

' цр

Qnp

Jnp

0

<^Чпр

(VI . 2 . 5)

dSnp

0

Jnp

г д е

q n p

и g n p

— ' в е к т о р ы

скоростных

составляющих в

рас ­

сматриваемых

прямоугольных

координатных

системах;

dqnp

и

dgnp

— векторы

дифференциалов

скоростных

состав­

ляющих .

К формулам (VI.2.3) — (VI.2.5)

допустимы

обратные

преобразования во всей области .возможного

существования

вектора состояния. При этом линейный оператор

обратного

преобразования

тождествен

транспонированному

значению

матрицы прямого

преобразования .

В о б щ е м случае

выражения

(VI.2A)

являются

нелинейны­

м и

относительно

составляющих

qу

соотношениями:

•сложность которых

при выбранной

системе g

зависит

от со­

с т а в а параметров

q,

используемых

в

качестве

составляющих

исходной системы.

Наиболее простыми ф о р м у л а м и

преобразования

коорди­

нат

являются соотношения,

устанавливающие

связь

м е ж д у

плоскости которых

совпадают.

Так, д л я цилиндрической

координатной

системы с

состав­

л я ю щ и м и

q^ = || р Хц

zu

||

это преобразование имеет

вид

g n p

=

R z ( - X u ) Q u ,

(VI.2.6)

т д е £ пр —

И - ^ У 2

II — вектор положения в

прямоугольной

системе координат;

Q ^ = II Р 0 г ц ||

—

вектор,

опреде­

местоположения

наблюдателя;

R z

(— Ki)

—

матрица,

х а р а к т е р и з у ю щ а я

преобразование

прямоугольных

координат

при повороте. Индек с z указывает

на

ось,

вокруг

которой

осуществляется поворот. Положительно е

значение

аргумен­

та

Яц

характеризует

вращение

против

часовой

стрелки.

Д л я сферической

системы

с

составляющими

Ч1ф=

— 11гА^СФср|1

указанное

преобразование

характеризуется

соотношением

gnp = К (~КФ)

Ry ( -

<Р) Осф,

(VI-2.7)

где

К г ( — Кф) и

R y (— ?)

—

матрицы

вращения;

Q ^ , =

=

|| r K

00|| —

линейная координата

сферической

системы от­

с ч е т а .

Связь м е ж д у координатами декартовой прямоугольной и

(общепринятой

геодезической

системы

отсчета

с

составляю-

1щими

ql=\\

ИЬВГ\\

определяется

соотношением

g n p

=

R z ( - £ ) R y ( -

Br)

Q r

+

Qo,

(VI.2.8)