Файл: Олянюк, П. В. Оптимальный прием сигналов и оценка потенциальной точности космических измерительных комплексов.pdf

о

Хс ф

cos <р

)уф

r K y sin у — г к

cos у

Чф tg<p

r\

COS2 <р

- Ь Ф

sin ср

(VI.2.18)

о

L cos 5 П

5r

(N,-\-H)Br

sin Br-Ncos

BT

Л / + Я -tgSr

(Л/ +

/ / ) 2

c o s 2 5 r

5г

L

fi+N2Bv

л ^ н - яsin

5 Г

М а т р и ц а W _ I

является обратной по отношению к м а т р и ц е

W в ы р а ж е н и я

(VI.2.15).

Поэтому

соотношение

(VI.2.17)

справедливо в

той области

з а д а н и я

вектора состояния КА, в

которой матрица W неособенная.

Используя соотношения

(VI.2.15)

и (VI.2.17),

м о ж н о

оп­

ределить связь

м е ж д у д и ф ф е р е н ц и а л а м и

составляющих

век­

тора

состояния

при переходе

из k-и в у'-ю криволине-йную си­

стему

отсчета.

Эта связь

характеризуется

в ы р а ж е н и е м

dqj

о

R)Rk

О

X

dqj

О

R } R K

X

W A

0

dqK

(VI.2.19)

v f c

w f

e

ческую

систему соотношение

(VI.2.19)

значительно

упро­

щается, та к к а к произведение

Rj

Rc^

тождественно

равно

матрице

в р а щ е н и я Rv (—<р).

Ф о р м у л ы (VI.2.115), i(VI.2.'17)

и (VI.2.19) характеризуют

Перейдем к системам параметров, в к л ю ч а ю щ и м

кеплеро­

вы и им подобные

элементы орбиты. Пр и этом

следует

учесть, что во всех

случаях, когда кеплеровы

и им

подобные

п а р а м е т р ы выступают составляющими вектора

состояния КА,

10-1100

145

циальной

геоцентрической

прямоугольной системе

отсчета

[7].

Поэтому необходимо

получить

соотношения, связываю ­

щие

начальные условия

движения

в инерцнальной

прямо­

угольной

координатной системе и ,их

дифференциалы

с соот­

ние в /n-мерных

пространствах в некоторый момент времени

to. Н е н а р у ш а я

общности выводов, можно принять, что в

кроме времени t могут быть

использованы и другие текущие

аргументы — истинная

f> и

эксцентрическая

Е аномалии,

средняя широта М + со и

т. д.

Обычно н а ч а л о

текущего аргу­

моугольной

геоцентрической

координатной системе OXYZ

(рис. V I . 1)

и кеплеровыми или им подобными

п а р а м е т р а м и

необходимо

ввести некоторые

промежуточные

системы от­

счета. Так,

при применении кеплеровых параметров орбиты,

качестве промежуточной

целесообразно р а с с м а т р и в а т ь

гео­

центрическую

орбитальную прямоугольную систему коорди­

н а т OX\Y\Z\,

ось ОХ\ которой совпадает

с направлением

на

перигей. П р и

этом три

угловых элемента

/, со и Q системы

пространстве,

одновременно

ш л я ю т с я

элементами направ ­

л я ю щ и х

косинусов м е ж д у

осями

координатных

систем

OXiYiZ]

и

OXYZ

(рис. V I . 1 ) .

Д р у г и е

три

орбитальных

пара ­

метра a,

е

и

М0

определяют

коническое

сечение безотноси­

угольных координат, а в качестве промежуточной

—

систему

кеплеровых элементов /, w, Й, а, е, MQ.

Д л я

определения

взаимосвязи

составляющих вектора

со­

стояния

КА в пространстве

начальных

условий

движения

g T =\\xyzxy

z\\

в

инерциональной

прямоугольной

системе

координат

OXYZ

и в

пространстве

кеплеровых

элементов

ор­

биты

q T

=

|| tto Q ае

Мп

\\ представим

вектор

g

следующим

в ы р а ж е н и е м '(рис. W . 1 ) :

g =

GHSg1 ,

(VI.2.20)

г д е

gj =

|| ATj у 1

Zj X] У)

||

—

вектор

состояния

КА

в

про­

странстве

начальных

условий

в

геоцентрической

орбиталь ­

ной

прямоугольной

системе

OX^YiZi;

G,

Н и

S

—

матри ­

рых являются матрицы в р а щ е н и я

R ^ ( — Q ) , RA. (— i) и

R^ ( — т) соответственно.

ю*

147

ее ориентацию в

пространстве системы

координат

OXYZ.

Вектор g, зависит

от внутриплоскостных

кеплеровых

эле­

ление вектора g,

значительно упрощается, если

в качестве

аргумента выбрать

величину эксцентрической Е или истин­

ной •& аномалий . Учитывая это, представим вектор

g, выра ­

жением, з а в и с я щ и м

от эксцентрической аномалии:

sin

Е

(VI.2.21)

е c o s f

V l —

e2 cos Е-

1 —e

cos

E

0

биты; ц.— коэффициент,

р а в н ы й

произведению гравитацион­

ной

постоянной

на

массу

Земли,

а т а к ж е

зависящим

от

истинной аномалии:

а(\

— б2 ) cos &

1 +

е cos &

а (1 — е2 )

sin &

1 -f- <? cos О

О

(VI.2.22)

&1

=

sin &

е

+

cos

О

Т а к и м образом,

в ы р а ж е н и е

(VI.2.20)

определяет

функци­

ональную зависимость

вектора

состояния

g

от

составляю ­

щих

вектора

q.

Д л я

н а х о ж д е н и я

формулы

преобразования

дифференциалов

составляющих

вектора состояния g и q

необходимо

определить

матрицу

перехода

Р - м а т р и ц у

част­

ных

производных

от

составляющих координат

и

вектора

скорости в

системе

OXYZ

по кеплеровым

п а р а м е т р а м

орби ­

ты. Указанную матрицу можно

представить

как

производ­

ную

вектора

состояния

g

по вектору

состояния

q

[7,

14]:

р = dg/dq.

П р и этом элемент

матрицы

Р , стоящий

на пере­

сечении k-й строки

и /-го столбца,

определяется

соотноше­

нием

pkj=^dgjdqj.

В

более

удобной

для

исследования

ф о р м е матрица

перехода

может

быть

записана

в

виде:

P =

6>g

dg

dg

dg

dg

dg

(VI.2.23)

di

дш

dQ

да

де

dM0

в которой

к а ж д ы й

элемент

Р./, представляющий собой

шес­

тимерный вектор (.матрицу-столбец),

с

учетом

соотношения

(VI.2.20)

определяется

произведением

некоторых

матриц .

Так,

первые

три

элемента

в ы р а ж е н и я

(VI.2.23)

опре­

деляются

следующими

соотношениями:

P . , = G ^di- S g l ,

P . 2 = G H

— g „

(VI.2.24)

которые легко могут быть вычислены,

если учесть, что пер­

вые

три

множителя

матрицы

Р

представляют

собой

квази-

диагональные

матрицы,» а

операция

дифференцирования, не

•изменяя структуры, ведет к их упрощению.

Последние

три

элемента

матрицы

Р, определяемой

вы­

р а ж е н и е м

(VI.2.23),

могут

быть

представлены

соотноше­

ниями

P.4

= GHS

да

P.s =

GHS

i l

l

де

P.6

=

GHS

(VI.2.25)

дМп

При

этом

с

учетом

в ы р а ж е н и я

(VI.2.21)

производная

век­

тора

состояния

g i

по

скаляру

а

определяется

зависимостью

cos Е — е

У~1—е2

sin Е