Файл: Курикша, А. А. Квантовая оптика и оптическая локация (статистическая теория).pdf

Скачать файл (6,75Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 82

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Подставив сюда (1.1.30), получим

р (о', ѵ") = J p	(и) (a I v">	W\v)dv	=
= h(v)Vb(v-v')b(ü-v")	dv=	{ ° -	П Р И V ' ^	ü " '
•J		Ip(f')	при v"	=v'.
				(1.1.32)

Таким образом выяснен вид, который имеет матрица плотности в том представлении через б-нормированные собственные векторы, в котором матрица диагональна.

На этом закончим краткий обзор общих положений квантовой механики и перейдем'к рассмотрению более конкретных вопросов. Начнем с рассмотрения системы квантовых осцилляторов, квантовое описание которой используют при построении квантовой теории поля.

1.2. Квантовый осциллятор и система осцилляторов

Рассмотрим одиночный	осциллятор — систему, пол
ная энергия которой
H = -4m-{p"	+ m^q%	(1.2.1)

где m — масса, р — импульс, q— координата, ©•—часто та собственных колебаний.

Заменяя р и q операторами, из (1.2.1) можно полу чить гамильтониан осциллятора и найти из соответству ющего уравнения собственные значения и собственные векторы гамильтониана. Не будем рассматривать это уравнение в координатном представлении (это подробно сделано в [5]), а нужные свойства собственных векторов •исследуем более удобным способом. Введем оператор

Поскольку операторы р aq самосопряженные, оператор а+, копряженный а, запишем в виде

* + = т і ^ ( т ш ? _ г Я

{ 1 - 2 - 3 )

Для произведения а+а, используя								(1.1.15), имеем
		1mh(ù [(р3 +		' п 2 ш Ѵ ) + ішп (pq — qp)\ =
					H					(1.2.4)
				hui

Аналогичное			выражение		для аа+		будет		отличаться		от
(1.2.4) знаком перед 1/2,					поэтому
			[а, а+] =		а а	+ - а > = 1 .				(1.2.5)
	Введем собственные векторы \Н) оператора									энергии
H	и покажем,		как они преобразуются						операторами		а и
а+.	Для этого		воспользуемся			перестановочными				соотно
шениями,		получаемыми		из (1.2.4), (1.2.5):
			[о, Н\ ~ %ю		а, аг	а —
=%ш{аа+а			— а + а а )	= Аш (а а+				- а +	а)а —^ш,	(1.2.6)
			а+,	а+а		^
			- а + а а +		) =	-	^ша+ .			(1.2.7)
Применяя		оператор H ка\Н)				и	Ъ+\Н),		находим
	На\Н)=аН\Н)		— %ш\Н)			=	[Н-%т)а\Н),			(1.2.8)
Ha+\H)=â+H\H)			+%ш+\Н)			= (Н + %а>)а+ \Н).				(1.2.9)

Таким образом, а\Н) с точностью до нормирующего множителя совпадает с собственным вектором операто ра Н, соответствующим собственному значению H— %а>,

а а+\Н) — с собственным вектором Я,			соответствую
щим //-{-ft* 0 - Поскольку	в соответствии		с (1.2.8)		опера
тор а „уничтожает" один квант		($ш) энергии		осциллято
ра, этот оператор называют оператором			уничтожения, а
оператор а+, действие которого		согласно (1.2.9)			приво
дит к рождению одного	кванта,	называют		оператором
рождения.

Значения	энергии	осциллятора	образуют, как	видно
из (1.2.8), (1.2.9), последовательность вида
где il — целое	Hn	= Ha + nfa,	(1.2.10)
где il — целое	число.	Постоянную	Я 0 и диапазон	изме

нения и определим, исходя из условия положительности

нормы вектора	а\Нп),	т. е.
( Я п \ а ^ а \ Н п ) =	^(Нп\Н\	Нп) - - L = n -	±+-^3*0.

Диапазон изменения ѣ должен быть ограничен снизу. Если принять, что ѣ меняется от нуля до бесконечно сти, то Я 0 мо;кно положить равной fip/2. Тогда а\ #„)= = 0 и последовательность а | Я п ) ^ |Я„_,) естественным образом обрывается. При этом ( Я „ | а + а \ Нп) = п — число

квантов в состоянии \Нп).		Естественно в		связи с
этим	рассматривать оператор	7і=а+а	как	оператор
числа	квантов.

Оператору а можно поставить в соответствие в каче стве динамической переменной комплексную амплитуду колебаний осциллятора а, точнее, комплексно-сопряжен ную величину .а*. Справедливость такого сопоставления подтверждается тем, что связь амплитуды а* в вещест венном гармоническом колебании *)

<7 = Re а* е - ' " '

отличается от формулы (1.2.2) только нормировочным

м.ножителем, и тем, что зависимость a(t) согласно (1.1.23) и (1.2.6) имеет вид

2(f) = 2 ( 0 ) е _ і ш ' •

Последующее рассмотрение подтверждает эти сообра жения.

Рассмотрим свойства состояний, характеризуемых заданной амплитудой а. Вектор такого состояния опре деляем уравнением

2 \| а ) = а * \| а ) .	(1.2.11)
) Пишем а, a не а, чтобы сохранить привычный в теории связи
вид гармонического колебания <хе'ш' (а не	а е —

Найдем распределение вероятностен для координаты и импуль са. Использовав координатное представление *) и выражение а через операторы координаты и импульса (1.2.2), решив эквивалентное диф ференциальное уравнение (1.2.11), можно показать, что вектор | » ) в координатном представлении имеет вид

	{q\a) = jf	m<ù/2h exp (— (х — Re о)= +		2lx Im a } ,	(1.2.12)
где X = q Vinfäßh		— безразмерная	координата.
Переход к импульсному представлению от координатного					требует
отыскания
		<Р\ а) = j <Я	I <*> <Р\ <7> dq
и, поскольку собственная функция оператора				импульса р —— ihd/dq
в координатном представлении есть
		<<7ІР>
сводится к преобразованию (1.2.12) по Фурье:
		1
	<Р I а ) =	/—т— ехр {— {у — Im о)2 — 2iy Im а +
		+ 2« Re a Im о},		(1.2.13)
где у =	р/Уг2тѢ<а.
Из	(1.2.12), (1.2.13) и для импульса, и			для координаты полу

чаем гауссовы распределения со средними значениями, определяе мыми как Re a и Im-a соответственно, и с дисперсиями

aq2=hj2m(ù, о-р2=;пЙ.ш/2,

произведение которых имеет минимальную величину Й.г/4, опреде ляемую соотношением неопределенностей (1.1.14). Таким образом, квантовый осциллятор в состоянии | а ) , называемом обычно коге рентным состоянием, в максимальной допускаемой квантовой тео

рией степени близок	к своему			классическому аналогу		и переходит
. в этот аналог, если	параметры задачи таковы, что /і можно считать
малой величиной. Для этого			требуется		выполнение	неравенств
	(q) >		ag	и {р) >	ор
или
	Re a >	1/2,		Im a >	1/2.	(1.2.14)
Заметим, что состояние		с	заданной энергией \| Я Я ) или, что одно
и то же, с заданным	числом квантов \п),				не переходит	в классиче
ское ни при каком п.	Это ясно хотя бы из того, что \гі) существенно
отличается от \| « + 1).

Квазиклассичиость когерентных состояний определяет их аде кватность для описания систем, которые по своей физической сущ ности при больших амплитудах колебаний должны подчиняться за конам классической физики.

*) В координатном представлении q — q и р = — ih(d/dq).

Как и всякий вектор состояния,	\| а)	можно разло
жить в ряд по собственным векторам	\| п)=	\Нп) операто
ра числа квантов:

л= 0

Подставляя это разложение б (1.2.11) и используя вы

текающее

из (1.2.8)

равенство^! п)—Уп

\ /г— 1) (наличие

множителя Уп обусловлено величиной нормы

{п\а+а\п)=

= п),

получаем

0 0

(п I а)У~п~ I и — 1 ) = а*5] ('?• I а) |

и),

л=І

л= 0

откуда

следует,

что

( л | а ) = Са*я /Ѵг лГ,

где

С — нормировочная

постоянная.

Произведя

норми

ровку

О О

0 0

( а | а ) = £ | ( Я | « > | «

С* £ ЦР=С»е^ = 1.

л=0

л = 0

получаем

окончательно

л=0

Аналогичным

образом можно

определить

собственные

векторы оператора

а+,

которые сопряжены с векторами

| а ) и

которым

соответствует динамическая

переменная а.

На

векторы

|а)

не

распространяются

многие

свой

ства собственных векторов, рассмотренные в

§ 1.1,

поскольку

операторы а не самосопряженные. В

частно

сти,

векторы |<х), |ß) при о.ф§

не ортогональны:

О О

п, т—0

оо

_ Ѵ »

( « И п

о ѵ п

(

І « І ' + І Р П _

Œ - e x

^ e x p | - l ^ - ü y i + « P * | -

.(1-2.16)

Смотрите также файлы

Лачинов, Н. В. Клепка и чеканка стальных конструкций учеб. пособие.pdf

Лидер действует..pdf

Магалинский, В. Б. Методы статистической теории равновесных состояний.pdf

Малахова, Т. П. Новые рубежи социалистического соревнования в большой химии Кузбасса учебное пособие.pdf

Марей, А. Н. Глобальные выпадения цезия-137 и человек.pdf

Файл: Курикша, А. А. Квантовая оптика и оптическая локация (статистическая теория).pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно