Файл: Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем.pdf

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ

Современная теория случайных процессов в непрерыв­ ных динамических системах имеет многочисленные на­ правления. Среди них направление, основанное на рассмот­ рении распределения вероятностей в фазовом пространст­ ве, занимает в определенном отношении особое место. Оно ставит задачу определения текущей плотности вероят­ ности в многомерном фазовом пространстве, т. е. задачу наиболее полного описания случайного движения. Эта плотность вероятности при достаточно общих условиях подчиняется уравнению в частных производных эллиптвг

уравнению. Данное уравнение нередко именуется также

диффузионным, уравнением диффузии вероятности, урав­ нением Эйнштейна — Фоккера.

Математической теории непрерывных марковских про­ цессов, связанных с этим уравнением, посвящена обшир­ ная литература. Однако до последнего времени вычисли­ тельные трудности, возникающие при решении ФПКуравнения для сложных динамических систем, в частно­ сти многомерных нелинейных еистем регулирования, считались непреодолимыми. Поэтому данное направление не фигурировало в качестве практического аппарата ана­ лиза и синтеза сложных систем. Основным назначением данной книги является разработка способов общего и чис­ ленного определения плотности вероятности в фазовом пространстве, пригодных для целей анализа сложных ди­ намических систем.

8 П РЕД И СЛ О ВИ Е

В главе I на физическом уровне строгости выводится ФПК-уравнение и на основе особенностей статистиче­ ской динамики вводятся некоторые классы динамических систем. Для свободного движения динамической системы (при случайных начальных условиях) указывается связь решения ФПК-уравнения с первыми интегралами исход­ ной системы. Это во многих случаях дает полезные резуль­ таты. Так, для многих нелинейных механических систем, для которых известен один или несколько первых интег­ ралов, сразу определяется частное распределение вероят­ ностей свободного движения.

Основной метод приближенного решения ФПК-урав­ нения для систем с аналитическими функциями — метод степенных рядов — рассматривается в главе II. Здесь сначала излагается формализм метода и частные случаи. Коэффициенты разложения в степенной ряд логарифма плотности вероятности определяются системой обыкно­ венных дифференциальных уравнений, которой при приб­ лиженном решении придается ограниченная размерность. Для случая свободного движения (динамическая система без шумов) коэффициенты указанного ряда удается выра­ зить через начальные значения и элементы фундаменталь­ ной матрицы линейного приближения (весовые функции).

Вводится понятие стационарного равновесного распре­ деления вероятности как распределения, не зависящего от времени. Рассматриваются условия существования рав­ новесных распределений как при наличии шумов, так и при их отсутствии.

Метод коэффициентов разложения в степенной ряд ло­ гарифмической плотности вероятности сопоставляется в некоторых отношениях с методом моментов. Бесконечная система линейных обыкновенных дифференциальных урав­ нений для моментов получена путем решения методом сте­ пенных рядов уравнения в частных производных для ха­ рактеристической функции. Быстрая сходимость метода

коэффициентов получается для систем с большим рассеи­ ванием (размытые распределения вероятностей). В этом смысле метод коэффициентов является более мощным в сравнении с методом моментов, который быстро сходится лишь для концентрированных распределений (малое рас­ сеивание).

Метод коэффициентов наряду с определенными досто­ инствами обладает недостатками. Это трудность оценки сходимости метода, громоздкость систем уравнений коэф­ фициентов. В работе излагается другой метод приближен­ ного решения ФПК-уравнения, называемый итерацион­ ным. Этот метод дает решение в виде ряда по степеням времени, коэффициентами которого служат степени ли­ нейного дифференциального оператора, воздействующие на начальное распределение. Хотя возможности упомяну­ того метода изучены еще недостаточно, он представляется эффективным, особенно при изучении начальной фазы сто­ хастических переходных процессов.

Глава III посвящена конкретным применениям метода коэффициентов при статистическом исследовании динами­ ческих систем различных классов. Сначала рассматрива­ ются механические системы без шумов, в частности, осу­ ществляется приближенный анализ статистической дина­ мики либрационного движения искусственного спутника. Далее рассматриваются линейные системы со случайными, постоянными во времени параметрами. С точностью до кубических членов разложения в ряд логарифмической плотности вероятности найдено негауссовское распреде­ ление в фазовом пространстве такой системы и обоснова­ ны допуски на некоторые параметры. Аналогичное иссле­ дование проведено для линейных стохастических систем, параметры которых являются случайными функциями вре­ мени. Заключительная часть главы III посвящена иллю­ страциям возможности применения метода для исследова­ ния некоторых адаптивных систем.