Файл: Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 71

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

16 У РА В Н Е Н И Е Ф О К К Е РА — П Л А Н К А — КОЛМ ОГОРОВА [ГЛ . I

где wAp (t, t') — весовая функция,

удовлетворяющая ус­

ловию wAp(t', t') =

1. Умножая (1.8)

на gj (t) и определяя

математическое ожидание,

находим

I

п

 

 

М [АрЫ = - ^ д р

(t, п { 2

м & (О Е, (01 g j} Л ' =

1

п

 

п

- - U a p(o о 2

 

- 4 - 2 -s„

 

3-1

 

3=1

 

 

 

(1.9)

Множитель 7 2здесь появляется потому, что интегрирование

б-функции

ведется в пределах от 0 до +

0 (+ 0 — бес­

конечно малая положительная величина),

а не от —0 до

+ 0, т. е.

используется половина «площади» 6-импульса.

Подставляя (1.9) в верхнее уравнение (1.6), получаем окончательно

f c - а

1

£ < *4-« i-

дх.дх,

( 1. 10)

1=1

1. 3=1

% 1

 

— уравнение Фоккера—Планка — Колмогорова. Строгий вывод ФПК-уравнения можно найти в работах [1.7], [1.91.

Решение ФПК-уравнения при условии (1.4) автомати­ чески удовлетворяет условию нормировки:

оо

(

 

. )

§ . . . J pdxx. .. dxn = 1 .

1

 

 

11

Покажем это в предположении, что плотность вероятно­ сти исчезает в бесконечности и притом так, что

 

 

 

(U2)

Проинтегрируем (1.10)

по всему фазовому пространству

ОО

П

 

09

 

-'d xn — 2

)dx1... d x n —

 

— у

2

l t e £ r dXi- - - dXn==0-

1 .3 - 1 * - с о ” 1 1

1 1.1]

В Ы В О Д Ф П К -У РА В Н Е Н И Я

17

Учитывая, что согласно (1.12)

<J dxx. .. dx^clxu! . . . dxn — О,

00

получаем

^ ‘ 5 dt

* ‘ ^Хп---- Ж ^ ^ Р • • dxn — 0.

Таким образом, величина

^^ р dxv . . dxn

постоянна и при условии (1.4) равна единице. Если вместо обычной п л о т н о с т и вероятности использовать логарифми­

ческую

плотность вероятности In р,

то ФПК-уравнение

(1 .10)

преобразуется к виду

 

 

 

 

 

 

д In р __

п

 

 

п

о

 

 

3 Inрд In р \

 

 

, д In р ___ 1_

v i

/дЧп р

 

dt

”

” дх.

2

”

^

\дх.дх.

dxi

дх.

I

 

 

1«=1

^

 

 

 

'

1 з

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

_ у

Vi

 

(1.13)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

£ * 1

Эта логарифмическая форма ФПК-уравнения, введенная нами в работах [1.12], [1.13], будет широко использовать­ ся в дальнейшем.

Непосредственно из вида уравнения (1.13) можно ожи­ дать особенностей статистической динамики систем, у

18

У РА В Н Е Н И Е Ф О К К Е РА — П Л А Н К А — КОЛМ ОГОРОВА [ГЛ . X

которых

(1.14)

в любой точке фазового пространства. Такие динамичес­ кие системы будем называть обобщенными консерватив­ ными. Если по аналогии со следом матрицы именовать ве­

личину (1.14) следом якобиана

df 1

0/i

dxi

дхп

то можно сказать, что обобщенные консервативные сис­ темы — это системы, у которых след якобиана равен ну­ лю. Частным видом обобщенных консервативных систем являются системы, у которых в любой точке фазового про­ странства

(1.15)

Этот класс систем будем называть системами без прямых связей. Еще один класс составляют системы, у которых «диагональные» частные производные dfjdxi постоянны

или зависят только от времени. Такие системы будем име­ новать системами без прямых нелинейных связей. Особен­

ности статистической динамики всех этих классов систем будут рассмотрены ниже.

При рассмотрении некоторых вопросов статистической теории динамических систем полезным является понятие общей энтропии системы:

оо

 

Н — — ^ . . . ^ p ln p d X i - . .dxni

(1.16)

—ОО

Впоследующих главах текущая логарифмическая плотность вероятности In р часто ищется в форме

§ 1.11 В Ы В О Д Ф П К -У РА В Н Е Н И Я 19

сходящегося степенного ряда

а

In р = А0 +

2

Ахх х+

~2~ 2

Ацр&к +

 

 

 

i = l

 

i, к=1

 

 

 

 

 

 

 

+ “ Г*

2 А ш x ix t^ l + • • ч

 

 

 

 

^

i. к, 1—1

 

 

где А 0, At,

A lh, A ihl, ... — коэффициенты распределения,

являющиеся в общем случае функциями времени.

Под­

становка этого

выражения

в (1.16)

дает

 

 

 

п

 

4-

п

 

 

 

Н = - А 0-

2 ^ -

2 AikM ik-

 

 

 

i = l

 

 

i, k ~ l

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

-----Г 2

АШМ Ш - . . . ,

(1.17)

Mm..., = $ • • • $ pXiXkti- • •

dxv .. dxN

(N = 1, 2, . . . )

'~N~'

 

'

5v

 

 

 

 

— моменты распределения. Для нормального распределе­ ния коэффициенты А ш и все последующие коэффициенты

равны нулю и формула энтропии принимает вид

ПП

Н — А0

2

-----о-

2

AikM^k,

 

i = l

 

i, k= i

 

а для нормального

центрального

(M t =

0)- распределе­

ния

 

п

 

 

 

 

 

 

Н — — А0-----2~

2

AlkM ik.

 

 

1, k = l

 

 

Матрицы А = I А 1к |, М = I M ih I в этом случае по от­

ношению друг к другу являются обратными: М = —А -1

П

и 2 AikMik = — п. Таким образом, для

нормального

i ,k = l

 

центрального распределения

 

Н = — А0-f- п.

(1.18)

20 У РА В Н Е Н И Е Ф О К К Е РА — П Л А Н К А — КОЛМ ОГОРОВА [Г Д . I

Для производной энтропии по времени в предположении,

что величины pfu pft In р, ~ In р исчезают на бесконеч­

ности:

(p/i In р)

= 0,

нетрудно получить выражение [1.13]

Я = — ^ - . ^ р S £ d x l... d x n +

4* 4- i ^ s ’ .s (4Э$ Д (

Действительно, вследствие условии (1.11) производная

Н равна

оо

= —

Inpdxj,. ..d x n.

Подставляя сюда выражение для dpldt из (1.10) и интегри­

руя по частям, находим

ПОО

Н= — 2 ■^ J -(P /i)in p ^ i- --dxn —

1—1 v J t

1 — А — ОО

- 4- 2

*. —оо х 3

§ 1.1] В Ы В О Д Ф П К -У РА В Н Е Н И Я 21

+ 4- s 5« S

'- - S ^

^ d*i'--da!n=

 

i . i = l

3

*

 

 

= -

i=sl *

V

•W

d<r«+•

 

1—■*■

—во

 

 

+4- . 2

—oo

J

 

г»J—1

В отсутствие шумов (свободное движение системы)

Н = —

щ ) р й х i---dxn.

Для обобщенных консервативных систем Н = 0, т. е. энт­

ропия обобщенной консервативной системы в отсутствие шумов постоянна.

При наличии шумов энтропия обобщенной консерва­ тивной системы всегда нарастает. Действительно, в этом случае

Я =

1

V с f

Г 3 In р d In р ,

j

—

 

Si i \ - - - \ ^ - g ^ p d x 1...d X n =

 

 

г, j= l

*^_оо

г

3 '

 

=4-

Й

,

|

 

 

Ь 3=1

 

 

 

 

 

=Т М [(|ч.^ )']. (‘ -ад

где — случайные

функции, моменты

которых равны

М [т^цД = S tj.

Из (1.20)

видно, что Н >

0.

Для систем, не являющихся обобщенными консерва­ тивными, при наличии шумов может существовать энтро­

пийное равновесие (Я = 0). Оно наступает при

3 In р ~|

(1.21)

Смотрите также файлы