Файл: Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем.pdf

10 П РЕД И С Л О В И Е

В главе IV рассматриваются равновесные распределе­ ния в системах с кусочно-линейными характеристиками, а также ставятся некоторые задачи синтеза.

Показано, что решение ФПК-уравнения для объекта без шумов подобно решению задачи аналитического конст­ руирования оптимальных управлений при определенном виде минимизируемого функционала.

Заключительная глава работы имеет самостоятельное значение и лишь косвенно связана с предыдущим. В ней рассматриваются вопросы предельной точности управле­ ния, обусловленной тепловыми шумами. Здесь обобщены известные результаты для линейных пассивных систем и получены оценки предельной точности стабилизации для систем с обратными связями. Вводится понятие микроуп­ равления для задач управления объектами микроскопи­ ческих (десятки ангстрем — микроны) размеров. Найде­ ны некоторые оценки предельной точности управления та­ кими объектами. Есть основания предполагать, что эти вопросы имеют принципиальное значение и получат широ­ кое развитие в будущем.

Автор выражает благодарность профессору Ю. А. Ко­ четкову за замечания, сделанные при рецензировании ру­ кописи книги.

Г Л А В А I

УРАВНЕНИЕ ФОККЕРА — ПЛАНКА — КОЛМОГОРОВА

Как показывает само наименование, ФПК-уравнение в историческом плане имеет два истока: физический и тео­ ретико-вероятностный.

По-видимому, первой непрерывной динамической систе­ мой, описываемой обыкновенными дифференциальными уравнениями со случайными функциями, рассмотренной с позиций статистической теории, явилась броуновская частица. Физическая теория броуновского движения была создана Эйнштейном и Смолуховским в 1905—1906 гг. [1.1], [1.2]. Еще раньше Башелье получил закон, которому подчиняется положение частицы, совершающей одномер­ ное броуновское движение [1.3]. ФПК-уравнение (или, как его еще называют, диффузионное уравнение, уравнение диффузии вероятностей) на физической основе было выве­ дено в работах Фоккера [1.4], Планка [1.5]. Строгий вывод принадлежит А. Н. Колмогорову [1.7]. Диффузион­ ные процессы в фазовом пространстве, к которым относит­ ся броуновское движение, можно рассматривать как марковские процессы с непрерывными траекториями.

Широкая физическая постановка задачи о статистиче­ ском рассмотрении динамических систем, связанная с ФПК-уравнением, была опубликована А. А. Андроновым, Л. С. Понтрягиным, А. А. Виттом в 1933 г. [1.6]. Матема­ тической теории диффузионных процессов *) посвящены труды крупнейших математиков: А. Н. Колмогорова [1.7], [1.8], П. Леви [1.9] и др. [1.10], [1.11]. Этот раздел совре­ менной математики быстро развивается и содержит глу­ бокие результаты.

В данной главе излагается вывод ФПК-уравнения на основе физических представлений.

*) Как уже отмечалось в предисловии, аспекты строгой мате­ матической теории диффузионных процессов совсем не затраги­ ваются в данной книге.

в фазовом пространстве. Простой и достаточно нагляд­ ный, на «физическом уровне строгости», вывод уравнения получается при использовании представления о «фазовом газе». Подобные построения часто применяются в статис­ тической физике. Будем рассматривать уравнения (1.1) или (1 .2) как уравнения движения частиц некоторого во­

ображаемого фазового газа. Считаем, что частицы фазового газа не могут исчезать или возникать, их общее число во всем фазовом пространстве постоянно.

Изменение числа частиц в любом элементе объема dxy...

... dxn фазового пространства равно разности числа частиц,

поступающих и убывающих из этого элементарного объ­ ема. Понятие фазового газа может быть интерпретирова­ но также следующим образом. Допустим, что имеется очень много (или бесконечно много) совершенно одинако­ вых (с одинаковыми / г, | 4) систем (1 .1 ), отличающихся

лишь различными начальными условиями. Изображающая точка каждой системы будет совершать в фазовом прост­ ранстве этой системы движения. Совместим все фазовые пространства идентичных систем в одно. Получаем дви­ жение в фазовом пространстве множества точек, которые и будут частицами фазового газа.

Выделим в фазовом евклидовом пространстве элемен­ тарный объем в виде n-мерного прямоугольного параллеле­ пипеда с центром в точке (х1, х2, ..., хп) и сторонами dxl , dx2, ..., dxn, параллельными координатным осям.

Движение частиц фазового газа в каждой точке фазово­ го пространства имеет регулярную составляющую, обус­

венная плотность фазового газа, т. е. количество частиц на единицу объема в данный момент времени и в данном мес­ те фазового пространства, будет иметь как регулярную составляющую (математическое ожидание) р (х1, ...» хп, t),

так и случайную центрированную (с нулевым математи­ ческим ожиданием) составляющую Др (а^, ..., хя, t).

Математическое ожидание плотности фазового газа рав­ но искомой плотности вероятности в фазовом прост­ ранстве.

Скорость изменения количества частиц в выделенном элементарном параллелепипеде равна сумме потоков час­

тиц, проникающих через его грани. Полагая стороны па­ раллелепипеда сколь угодно малыми, с точностью до ма­ лых высших порядков записываем это условие неразрыв­ ности, или сохранения:

X d a ^ . . . da:b l da:i+ 1 . . . d x n —

X dXi-.. dXi-xdxi+i- .. dxn| =

n

=% £ - H P + b p ) V i - b ) ] d 1=1 1

Отсюда следует

Математические ожидания величин

д&р

dt »

равны нулю (Др, — центрированные слу­

чайные' функции* /|, р — неслучайные функции). В