Файл: Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 69

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

220

Т Е П Л О В Ы Е

Ф Л У К Т У А Ц И О Н Н Ы Е К О Л Е Б А Н И Я

[ГЛ. V

светового

давления, с матрицей спектральных плотностей

 

 

 

 

s m = ( ~ J n vl.

(5.78)

Вводя

обозначения блочных матриц:

 

 

 

 

<7II

 

т 1г т гсII

 

 

х

=

?Г

а = — 1

о

Ю II

 

 

II’

 

 

 

 

 

!ф =

I » '1

(ф+фд)Л

»(5.79)

 

 

 

 

1

о

1

 

 

 

 

 

 

сАтn (S« + Sm) И

=0

(матрица т считается неособой), уравнения (5.74), (5.77)

запишем в виде

 

± +

ах =

£<р, z =

hzx + £и-

(5.80)

Фильтр Калмана

будет

иметь

вид (5.54), k$ =

RfiZSz1*

где ковариационная матрица R ошибок оценивания вида

(5.60) удовлетворяет уравнению

 

 

R

о-R -(- Ra? -Н Rb?zS ^ h z R — S

(5.81

Подставляя сюда выражения (5.79), находим уравнения для матриц-блоков:

R - +

m~xrRlk + mThR^ +

1

R-tcm 1 +

 

 

 

+

R i t R ti =

( 5 <к + S ' ^

 

 

Rlt +

m~xrR-t + m.-1cRtt — R» -j- -gf R^Rtz =

0,

> (5.82)

Rtt — R ll +

Rttftm~1+

Rttcrrrx + ~

RttR-t =

0,

 

А . - л ;. - Л а + -5-Д Ь = °-

 

 

 

Второе и

третье

из

этих

уравнений идентичны, ес­

ли принять во

внимание

соотношение Д;1

= i?t-. В

§ 5.2]

М И К Р О У П Р А В Л Е Н И Е

221

 

 

установившемся

режиме стационарной системы

 

rrfhR£- + R-r^m

1 + т 1cRit -f R-tcm~l +

\

 

 

(5.83)

Полагаем

(5.84)

два верхних уравнения (5.83) преобразуем к виду

Если эти уравнения имеют решение, то оно является един­ ственным в том смысле, что все другие решения, соответ­ ствующие произвольным начальным условиям, стремятся к данному решению при t —*■ оо. Это вытекает из того, что ранг матрицы (5.66) и в данном случае равен 2п.

Рассмотрим важные частные случаи.

1. В ы с о к а я к р у т и з н а х а р а к т е р и с ­ т и к ф о т о д а т ч и к о в , з н а ч и т е л ь н ы е м а с ­ сы. В этом случае естественно в левой части уравнения (5.86) сохранить лишь первый член:

mR'ltm =

(5„ + Svn),

(5.87)

 

К

 

а в правой части выражения (5.85) — последний член:

(5.88)

222

Т Е П Л О В Ы Е Ф Л У К Т У А Ц И О Н Н Ы Е К О Л Е БА Н И Я

[ГЛ. V

Из

этих выражений

и

(5.77), (5.78)

вытекает

 

 

R I = ^

гп-' (г + О т '1±

 

 

(5.89)

 

m R -Rum =

(г + гт) +

2

hH.

(5.90)

Числовые расчеты по этим формулам показывают, что предельная достижимая точность контроля координат здесь может быть на много порядков выше, чем в рассмо­ тренном классическом случае. В частности, при исче­ зающе малом рассеивании энергии (движение в вакууме), низких температурах и больших значениях nv из (5.90) следует

mR--Rltrn =

№

2 —- А21.

ее

1 2

Для объекта с одной степенью свободы это дает

У 7 /(/п в ? =

У 2 -Д-Л.

При б ^

К

 

У е2 У{те)г ж h,

что практически совпадает с соотношением неопределен­

ности

Гейзенберга.

2.

М а л ы е м а с с ы , м а л ы е ж е с т к о с т и .

В этом случае уравнение (5.86) уступает место прибли­ женному

464 rR:.rT = 46° (S’-e+ *5фд)•

Отсюда с учетом (5.78), (5.79) следует

R l = -£- *7* I?'1+ И ' 1!+ ^

r - 4 - r 1-

Здесь также можно получить предельную точность кон­ троля координат, существенно превышающую точность в классическом случае.

§ 5.2]

 

М И К Р О У П Р А В Л Е Н И Е

223

3.

Н и з к а я к р у т и з н а х а р а к т е р и с т и к

ф о т о д а т ч и к о в .

В этом

случае

величина 62/nv

велика и уравнения (5.86), (5.85)

вырождаются в следую­

щие:

 

cRttrT+

rRttc =

=

кТ (г +

гт),

 

 

Они имеют

решение

 

 

 

 

 

 

Rtt = kTc~\

i?t- = кТпГ1,

практически

совпадающее с

классическим случаем.

П р и м е р . Рассмотрим

устройство,

аналогичное по

конструкции шлейфу осциллографа или зеркальному гальванометру с миниатюрной подвижной системой.

Уравнение движения подвижной системы прибора за­

пишем в виде

 

 

 

 

 

 

 

 

 

/ га + ггх +

сга = фг,

(5.91)

где

/ г — момент

инерции,

сг — коэффициент

крутиль­

ной

жесткости,

гг — коэффициент вязкого

трения,

ф,. — тепловой

шум,

а — угол

поворота.

 

Рассмотрим

два

случая.

В

первом (классическом)

случае с помощью безынерционного усилителя контроли­ руется э.д.с., наводимая в шлейфе (обмотке) при коле­ баниях подвижной системы в магнитном поле. По сигналу этого усилителя с помощью фильтра Калмана оценива­ ются тепловые флуктуационные колебания шлейфа и их скорость. Предполагая индуктивность шлейфа пренебре­ жимо малой, сигнал наблюдения записываем в виде

uz = кгЛ + £и,

(5.92)

где £„ — шум усилителя, приведенный ко входу. Данная система является электромеханической, однако удобнее все переменные приводить к одним, например механиче­ ским, величинам. Вводя обозначения

rr

сг

Фг

 

а = Jv

'г 1

-- Jr

(5.93)

— 1

0

0

 

записываем уравнения в виде (5.52), (5.53):

х + ах = l x, . z = hzx + | z.

(5.94)

224

Т Е П Л О В Ы Е Ф Л У К Т У А Ц И О Н Н Ы Е К О Л Е Б А Н И Я

1ГЛ. Y

Согласно предыдущему, для элементов ковариацион­ ной матрицы ош и бок оптимального оценивания справед­

ливы формулы (5.67), принимающие в данном случае скалярную форму:

Фильтр Калмана будет иметь форму (5.70), которая для данного случая преобразуется к виду

Ла ф + г, ] / , + 2 + *ОСф+

Ср(Хф —

2

i W * + у - (5.90)

 

/

Из изложенной общей теории и выражений (5.95) следует, что при Та ^> Т получить точность оценивания а, а,

существенно превышающую уровень естественных тепло­ вых флуктуационных колебаний шлейфа, нельзя. Выше утверждалось, что это относится и к точности стабили­ зации управления. Для иллюстрации этого положения замкнем систему, снабдив ее дополнительным шлейфом (обмоткой), электрически не связанным с первым. В этот управляющий шлейф (обмотку) поступает усиленный сигнал «ф. Уравнения замкнутой системы запишем в ска­ лярном виде:

/гос -j- гт% + сга = — Ауаф-|- <рг ,

J г&ф + Гг р / " 1 + 2 - j r - Зф + с гаф =

(5.97)

— — ^ ^ ~т--------^ (г г *

где к7 — коэффициент усиления.

Структуру системы поясняет рис. 5.4, где У — уси­ литель, ОФ — оптимальный фильтр. Для оценки точно-

§ 5.2]

МИКРО У П Р А В Л Е Н И Е

225

 

 

сти стабилизации в замкнутой системе (5.97) достаточно выполнить обычные расчеты по определению дисперсий

Рис. 5.4.

в стационарной линейной системе. Проделав эти расчеты, для а 2 находим

кТ n - 2 - f W i + d - 4 - ^ ;

<г =

-dk'*

1 + * ;

Jrcr 7 ' __ h.

(5.98)

*

fty - К*тгг„

Легко проверить, что при Ти^> Т, ку ^> 0 всегда а 2 > —

сг ’

т. е. в этих условиях невозможна стабилизация подвиж­ ной системы с точностью, превышающей уровень естест­ венных тепловых флуктуационных колебаний свободной системы.

Рассмотрим теперь случай оптического контроля по­ ложения подвижной системы. Допустим, что на шлейфе или другой подвижной системе гальванометра укреплено зеркальце, отражающее концентрированный пучок света и посылающее его на неподвижные ФЭУ. Сигналы ФЭУ поступают в систему оптимального оценивания — фильтр Калмана ОФ (рис. 5.5). Налицо условия, соответствую­

щие рассмотренному выше случаю контроля координат посредством квантового излучения. Рассматриваемая кон­ тролируемая система имеет одну степень свободы. По­ этому все соотношения вида (5.82)—(5.90) здесь скаляр­ ные. Считая крутизну фотоэлектрического датчика до­ статочно высокой, используем приближенное решение

Смотрите также файлы