Файл: Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 74
Скачиваний: 0
210 Т Е П Л О В Ы Е Ф Л У К Т У А Ц И О Н Н Ы Е К О Л Е Б А Н И Я [Г Л . V
и матриц-столбцов:
qM= || Ag"||, |
Ч |
= 11 V * | | , |
ф “ = |
|| Ф™ ||, ф 9 = |
|| ф |||- |
||||
Уравнения (5.47) |
принимают вид |
|
|
|
|||||
mMqu -\- rMqM-\- cMqM+ |
rU3q3+ |
cU3q3 = |
|
||||||
r n tf + |
r3q |
+ |
c3q3 |
+ |
r3WqM+ |
cmq |
J ” ’ |
} (M 9) |
|
= Ф, |
) |
||||||||
или |
|
|
mg + |
rq + |
cq =>cp, |
|
(5.50) |
||
где |
|
|
|
||||||
|
|
|
IГМ |
ГМЭ |
|
|
|
||
тп = тм |
0 |
II |
|
, с = |
|
||||
|
г™ г" |
|
|||||||
0 |
тв1 |
|
|
|
|
||||
|
|
q = |
|
|
<p = |
|
|
|
|
— блочные матрицы.
Если невозмущенное движение рассматриваемой элек тромеханической системы устойчиво, а слабой нестационарностыо, вносимой индуктивно-емкостными датчиками с переменным напряжением питания (см. выражения (5.48)), можно пренебречь, то дисперсии тепловых флуктуационных колебаний в системе (5.50) выражаются фор мулами (5.29). Эти формулы при одинаковой температуре элементов электромеханической системы имеют вид
М [q\] = |
кТ |
2 |
(rv|* + |
г^) $ wiv (*) wiV-(0 dt, |
||||
|
|
v, Ц=1 |
|
|
0 |
|
|
(5.51) |
|
|
П |
|
|
oo |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
M [qi] = |
kT |
2 |
(*> + |
Ф-v) 5 |
|
( |
d)iV. (t) dt. |
|
|
|
V, H=1 |
|
|
|
|
|
|
Фундаментальная матрица w = |
|| |
w t j || |
определяется урав |
|||||
нением |
|
mw + w |
+ |
cu> = |
0 |
|||
|
|
|||||||
при начальных |
условиях |
|
|
|
|
|
||
|
w (0) = |
0, |
w (0) |
= |
mrl. |
|||
Допустим, что имеются безынерционные усилители с шумовой температурой Ту. С помощью этих усилителей
можно усиливать сигналы индуктивно-емкостных датчи
§ 5.2] |
М И К Р О У П Р А В Л Е Н И Е |
211 |
|
|
|
|
|
ков, а именно |
векторный сигнал г%а. Усиленные сигна |
||
лы датчиков |
можно вводить в цепи |
питания тех |
же дат |
чиков. |
|
было описано |
выше, |
Попытаемся, подобно тому как |
|||
уменьшить тепловые флуктуационные колебания путем уменьшения «естественных» сопротивлений в системе с од новременным созданием «искусственных» сопротивлений за счет отрицательных обратных связей. Суммарные со противления rvlx, фигурирующие в уравнениях свобод ного движения системы, при этом должны оставаться не изменными. Неизменными остаются также весовые функ ции Юц.
Легко видеть, что, как и в предшествующем случае, с помощью усилителей с шумовой температурой Ту, пре вышающей температуру Т исходной системы, невозмож
но сколько-либо существенно уменьшить уровни флуктуационных тепловых колебаний. Доказательство такое же, как в предыдущем случае. Пусть сопротивление
г5 = ria уменьшено в d раз и к нему подключен согла
сованный вход безынерционного усилителя с температу рой входного сопротивления Т и общей шумовой темпера турой Ту. Сигнал усиливается этим усилителем в 2d — 1
раз и подается на вход соответствующей цепи индуктив но-емкостного датчика, образуя отрицательную безы нерционную обратную связь. В результате восстанавли вается сопротивление
г 3 |
*э |
rifr |
|
Ч2dЕ Г + (2 * -1 > 2d |
ils' |
а спектральная плотность шумов становится равной
k - £ - T |
+ 2k |
(2d-i)*rt:3 |
ъ т 1 + |
2 (2rf - |
1)^Гу/Г |
Ту — 2кгцс |
2d |
|
|||
|
|
|
|
|
|
что при |
Ту > |
Т, 2d — 1 > |
0 больше |
90% |
исходн ой |
спектральной плотности 2knlT.
Выше показано, что интегральные квадратичные оцен
ки вида
оо
§ wi4(t)wiV.(t)dt
о
212 Т Е П Л О В Ы Е Ф Л У К Т У А Ц И О Н Н Ы Е К О Л Е БА Н И Я [ГЛ. V
положительны и увеличение любого из элементов матрицы спектральных плотностей ведет к увеличению дисперсий
(см. (5.21), (5.22), (5.51)).
Предельная точность управления пассивным объектом при неквантовом взаимодействии с контролирующей си стемой. В рассмотренных задачах стабилизации вопрос об оптимальной обработке информации, оптимальной фильтрации сигналов датчиков информации, не ставился. Поэтому эти примеры, несмотря на их относительную общность, не являются вполне убедительными в смысле предельной возможной точности управления.
Попытаемся хотя бы для одного класса пассивных объектов решить ту же задачу о предельной точности управления с позиций оптимальной фильтрации сигна лов. Ввиду того, что априорная информация о контроли руемом процессе представлена в виде дифференциальных уравнений, естественно привлечь теорию фильтрации
Калмана |
[5.11], [5.12]. |
|
есть |
линейный |
Хорошо известно [5.11], что если |
||||
объект |
% ~f~ |
&х |
|
(5.52) |
|
|
|||
где Sue — вектор-столбец |
белых шумов с |
матрицей спек |
||
тральных |
плотностей S х, а — квадратная (п |
X п) ма |
||
трица коэффициентов, и вектор наблюдения (измерения) имеет вид
z = hzx -f- £г, |
(5.53) |
где £. — вектор-столбец белых шумов с неособой спек тральной матрицей Sz, hz — заданная квадратная или
прямоугольная матрица, то оптимальной в смысле мини мума математического ожидания квадратов ошибок оцени вания является система (фильтр Калмана)
|
У + |
ау = кф (z — hzy), |
(5.54) |
где /сф = RhlSt1, R |
= М [{х — у) (х — у)т] — ковариа |
||
ционная матрица ошибок, определяемая уравнением |
|||
R + |
aR + |
Яат + RhTzS z% R = S x |
(5.55) |
при начальном |
условии R (t0) — R 0. |
|
|
§ 5.2] |
М И К Р О У П Р А В Л Е Н И Е |
213 |
|
|
Рассмотрим задачу оптимального контроля линейной пассивной стационарной системы, описываемой уравне нием (5.2) со спектральной матрицей тепловых шумов (5.4). Будем полагать, что вектор наблюдения имеет вид
z = ( r + r t) q + l a, |
(5.56) |
гДе — вектор белых шумов со сп ктральной матрицей
SB = 2кТя (г + г ), |
(5.57) |
Тп — шумовая температура измерителей. Если считать,
что уравнение (5.2) описывает объект вместе с входными «цепями» измерителей, то эти предположения являются достаточно общими. Действительно, для электрической цепи г = гт и (г + rT) q = 2rq — удвоенная матрица на
пряжений на активных сопротивлениях. Эти напряжения измеряются с помощью усилителей с согласованными вхо дами, матрица входных сопротивлений которых равна 2г,
а шумовая температура Ги. Поэтому матрица спектраль ных плотностей шумов усилителей имеет вид (5.57). Если объект является пассивной электромеханической системой, то матрица г может быть кососимметричной. В этом случае для измерения доступны, как правило, диагональные члены матрицы rq, что отвечает выражению (5.56).
Полагаем матрицы т, с, г + гТ неособыми. Введем
блочные матрицы
m |
пг Lc |
II q | |
|
|| m |
|| |
а = - 1 |
О |
* = |
* , - | r + rt>l |
£* = | о |
|- |
|
|
|
|
(5.58) |
|
Уравнения (5.2), |
(5.56) запишутся в форме (5.52), (5.53): |
||||
|
± + |
ах = |
z — hzх + \ г. |
(5.59) |
|
Оптимальный фильтр будет иметь вид (5.54), и ковариа
ционная |
матрица |
ошибок |
R.. |
R. |
|
|
|
|
|
||
|
i? = М [(у — х) (у — z)T] |
ее |
t t |
(5.60) |
|
|
Rее. |
Ъ г |
|||
|
|
|
|
||
где R t -, |
R tt, R ^ , |
R ct — матрицы-блоки размером п X п |
|||
(при размерности матрицы а 2л X 2ге), определяется уравнением
R - | - aR 4- RaT Rfi^S^hzR = S х. |
(5. 61) |