Файл: Бешелев, С. Д. Экспертные оценки.pdf

Вп, вероятности которых известны; пусть известны только условные вероятности Р (А/В<) события A (£=1,2,. . ., /г). Тогда полная вероятность этого события будет

Р(А)=^Р(В,)ХР(А1В{). i = i

Если некоторое событие В вызывается действием ка­ кой-либо из т причин Аъ А2,. . ., Ат, то существует фор­ мула, позволяющая вычислить вероятность того, что

Эта формула, известная под названием теоремы Байеса, имеет много практических применений, в том числе и в методах экспертных оценок.

Теорема Байеса позволяет определить условные веро­ ятности при так называемом обратном анализе, например когда рассчитывается вероятность определенного исхода для раннего из двух зависимых событий при данном исходе второго события. Изменение направления анализа по­ зволяет принять во внимание дополнительные сведения, проверять и исправлять значения вероятностей, отно­ сящихся к важному для принятия решения исходу. Так, используя априорные оценки вероятностей различ­ ных гипотез, полученные от экспертов, можно рассчи­ тывать" "после каждого нового события апостериорные вероятности этих гипотез.

Смысл двух использованных выше терминов — «апри­ орная» и «апостериорная» вероятность — заключается в следующем. Так как сущность байесовского подхода состоит в изменении значения вероятности на основе более поздних сведений, то вероятность, связанная с ис­ ходом, при "отсутствии каких-либо сведений о зависимых событиях называется априорной. Если же значение такой вероятности изменяется в связи со знанием исхода зави­ симого события, то полученная величина называется апостериорной вероятностью.

В качестве примера такого подхода рассмотрим еле- . дующую игру. Пусть имеются две урны с белыми и крас~

70

ными шарами Ах и А2. Число белых шаров в первой урне составляет 50% от йх общего количества, а во второй урне — 30% . Игра заключается в том, что вы выбираете урну в зависимости от того, какой стороной упадет под­ брасываемая вами монета («орлом» или «решкой»), а за­ тем вынимаете из отобранной урны шар. Мне известен состав шаров в урнах, но я не знаю, из какой урны вы извлекли шар, и я должен угадать это, учитывая его цвет. Если я ошибусь, выигрыш будет ваш, если угадаю — мой.

Поставьте себя на мое место. Мне известно, что верояность извлечения шара из обеих урн равна половине, поскольку это решается подбрасыванием монеты. Таким

пользуясь теоремой Байеса, я могу вычислить апостери­

Таким образом, исходя из расчетов на основе теоремы Байеса, мне выгоднее назвать урну Аг, поскольку моя догадка будет правильной в пяти случаях из восьми.

Аналогичным об_разом, если вынутый вами шар ока­ жется красным, то и в этом случае, рассчитав апостериор­ ные вероятности, как показано ниже:

71

я также могу назвать наиболее предпочтительную урну. Очевидно, что в этом случае мне выгоднее назвать урну А2.

Мы еще вернемся к байесовскому подходу при выве­ дении основных правил приписания оценок событиям с помощью экспертов. Подробное описание различных применений этого подхода для решения ряда практи­ ческих задач дано в работе У. Морисса 4 .

Индивидуальные оценки экспертов, как отмечалось в начале этого раздела, являются отражением неизвест­ ного нам вакона распределения какой-либо переменной. Поэтому кратко остановимся на понятии закона распре­ деления.

Пусть имеется числовая переменная X, которая может принимать значения хх, х2,. . ., хк,. . ., хп. Если каждому значению хк можно поставить в соответствие вероятность рк так, чтобы она изменялась от нуля до единицы, а сумма вероятностей была равна единице, то в этом случае пере­ менная X представляет случайную величину, а соответ­ ствие {хк, рк) определяет закон распределения случайной величины.

Множество элементов, подлежащих исследованию, в ма­ тематической статистике называют совокупностью. В ста­ тистическом анализе термин «генеральная совокупность» используется для обозначения всех элементов, которые соответствуют некоторому явлению; термин «выборка» означает часть генеральной совокупности. Ряд оценок, полученных от группы экспертов, обычно рассматри­ вается как некоторая выборка пз генеральной совокуп­ ности, а групповая экспертная оценка — как результат анализа этой выборки.

Использование оценок экспертов как выборки из не­ которой совокупности в случаях, когда нет возможности произвести непосредственные измерения и расчеты, мо­ жет быть оправдано не только тем, что если эти оценки включают какие-либо ошибки, то они взаимно компен-. сируются. Во многих случаях замена индивидуальных экспертных оценок единым показателем может помочь точнее предсказать общую характеристику исследуемой совокупности.

Закон распределения случайной величины может быть охарактеризован с помощью параметров. Например, сред-

' У. Моррис. Наука об управлении. Байесовский подход. М., 1971.

72

характера исследуемой проблемы и полученного распре- - деления индивидуальных оценок правильно выбрать спо­ соб расчета групповой, о^обш^днож^оценки.

1-~ Пусть имеется ряд нёсгруппированных экспертных оценок ж1 ( хг,. . ., хп. Простейший способ нахождения

73