Файл: Бешелев, С. Д. Экспертные оценки.pdf

обобщенной оценки состоит в вычислении средней ариф­ метической X:

it

2 X i

Иногда каждой экспертной оценке приписывается определенный вес, например в зависимости от ее значи­ мости. В таких случаях можно рассчитать взвешенную среднюю арифметическую (среднюю взвешенную) по формуле

оценки сгруппированы в виде ряда распределений, имею­ щего М интервалов, то для расчета средней применяется формула

х = ^ ,

где М — число интервалов, /,. — число оценок в г-м ин­ тервале.

Оценки, полученные от экспертов, могут быть упоря­ дочены, т. е. расположены в порядке возрастания или убывания какого-либо важного свойства (признака). В слу­ чае, когда необходимо установить значение признака, которое находится в середине упорядоченного ряда, рассчитывают медиану. Медиана делит ряд так, чтобы число оценок с ббльшим значением и число оценок с мень­ шим значением были одинаковы. Так, если имеется не­ четное число оценок х, равное 2/г+1, то (ге-И)-я по по­ рядку нарастания оценка будет соответствовать медиане упорядоченного ряда. Если же число оценок четное, то за медиану обычно принимают среднюю арифметичес­ кую п-ж^ж (гс-И)-й оценок.

74

Исторически математическое ожидание возникло при исследовании азартных игр. Предположим, что мы выби­ раем между играми А и В. Анализ правил этих игр при­ водит пас к-двум распределениям вероятностей выигрыша,

изображенным в виде графиков на рис. 6. Априори трудно определить, какому из двух распределений следует отдать предпочтение.

Выбирая игру В, мы устраняем возможность слишком малых выигрышей, но в то же время лишаемся и надежды на крупный выигрыш. Вводя же понятие математического ожидания, мы характеризуем наши распределения двумя точками ХА И ХВ, расположенными на прямой выигрышей ж, и тем самым получаем возможность выбрать однозначное решение.

Из теорем теории вероятностей известно, что математи­ ческое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий каждой из величин и что матема­ тическое ожидание произведения случайной величины на какое-либо число равно произведению математического ожидания случайной величины на это число.

Если дана случайная величина X, можно рассмотреть функцию от нее / ( X ) , которая также является случайной

76

величиной, и вычислить математическое ожидание этой функции. В частном случае, когда / (X) представляет собой некоторую степень X, получают параметры, кото­ рые называются моментами случайной величины. На прак­ тике часто приходится пользоваться так называемыми центральными моментами, т. е. моментами случайной величины X — Е (X).

Первый центральный момент всегда равен нулю. Вто- 1 рой момент относительно среднего является показателем j рассеяния и называется дисперсией. Квадратный корень из дисперсии называется среднеквадратическим откло­ нением а и вычисляется по формуле

где п — число оценок, х — средняя арифметическая. * Расчет среднего квадратического отклонения вместе со средней арифметической дает более полное представле­

ние об исследуемой совокупности экспертных оценок^ j Следует помнить, что, группируя оценки, полученные

от экспертов, в какой-либо ряд распределения и исполь­ зуя в качестве обобщающей характеристики параметры этого распределения, мы полегчаем возможность оценить групповое мнение, но всегда вынуждены расплачиваться за это потерей некоторой доли информации. Поэтому, прибегая к тем или иным статистическим приемам мате­ матической обработки информации, полученной от экспер­

исследуемых явлений, меняется форма, в которой эксперт может представить свое суждение. Оценки той или иной характеристики, полученные от эксперта (группы экспертов), ~~ могут быть представлены, например, в виде ряда распре­ деления их как интервал, внутри которого, по предполо­ жению, находится исследуемая характеристика, или же в виде точечной оценки. Однако вне зависимости от формы, оценки должны обладать свойством непротиворечивости. Это означает прежде всего, что должны быть соблюдены основные правила приписания вероятностных оценок собы­ тиям. К рассказу об этих правилах мы и приступаем.

77

Основные правила прпппсания вероятностных оценок событиям

Основой экспертных методов должна быть система непро­ тиворечивых правил, позволяющих использовать мнения экспертов для выбора наиболее предпочтительных ре­ шений. В предыдущем разделе было показано, что в прин­ ципе такие правила могут базироваться на понятиях, аксиомах и теоремах теории вероятностей и математи­ ческой статистики. Установим теперь правила,I обеспечи­ вающие приписание обоснованных вероятностных оценок, необходимых для выбора решений в условиях неопре­ деленности.

С этой целью рассмотрим простой пример. Предполо­ жим, что нужно выбрать один из двух билетов лотереи, которая разыгрывается следующим образом. Вынимаются из урны четыре шара разного цвета: красный полосатый, красный в крапинку, зеленый полосатый и зеленый в кра­

78

Второй билет дает тот же выигрыш, если вынутый шар окажется зеленым в крапинку. В табл. 4 показаны усло­ вия выигрыша по билетам № 1 и 2.

^* Анализируя таблицу, можно отметить, что при соблю­ дении условий лотереи возникают затруднения в случае, если будет вынут красный полосатый шар, ибо тогда события «красный» и «полосатый» будут учтены дважды. А следовательно, и вес, который мы приписываем этому событию, также будет учтен дважды при оценке возмож­ ных действий.

Для того чтобы избежать этого затрудения, сгруп­

А, В или С, происходит, это означает, что ни одно другое событие этого перечня произойти не может. События таких перечней называются взаимоисключающими.

Возможность различения событий и классификации их

простыми. Очевидно, например, что в рассматриваемой задаче все четыре события перечня А являются простыми.

Любой ряд простых событий можно представить в виде точек. В диаграмме на рис. 7 так показаны события пе­ речня А.

События «красный» или «полосатый» можно тогда представить как ..соответствующие группы точек, харак­ теризующих простые события. События «красный» и

79