Файл: Терентьев, С. Н. Цифровая передача непрерывных сообщений.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 63
Скачиваний: 0
а Принимается число |
|
W(i)-= 2 a ^ wk-1' |
(2.2) |
к -1 |
|
где в общем случае из-за воздействия помех
то говорят об ошибке в передаче числа
Д /V = A'(i) — УУ(|) |
(2.3) |
и квадрате этой ошибки:
Д iV- |
(/V(i) — /Vli')2- |
(2.4) |
В (2.1) и (2.2) а(к’ и яУ* — цифры переданного и принятого
чисел соответственно. Цифры аУ’, как было показано ранее, мо гут принимать значения 0,1,... (т—1) в зависимости от числа
yV(l). Цифры |
flkJ) |
в соответствии с правилами принятия |
решения |
||||
на приемной |
стороне могут |
также принимать значения |
только |
||||
из диапазона 0,1,... (т—1). |
|
|
|
|
|||
Поскольку |
при |
принятых |
обозначениях |
количественно |
an)—i, |
||
a aU) — j, |
то |
|
*‘ = 0,1,. -.,(/» - |
1); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
7=0,1,. ..,(т — 1). |
|
|
||
Используя |
(2.1) и (2.2), из выражения |
(2.3) |
получим |
|
|||
|
|
|
= |
|
|
|
(2-5) |
Квадрат ошибки
1
Д Л'2 =
к-1
П п
k-=i |
|
2 |
п |
«!>) |
II |
|
к =1 |
( 2. 6)
k - l/-1
20
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при |
* = |
/ |
|
|
|
(2.7) |
|
} 0, |
при |
k ф I, /= = 1, 2,..../?. |
|
|
|||
Полученная |
формула |
(2.6) |
выражает |
величину |
квадрата |
|||
ошибки при передаче данного числа /V10. |
Она является величи |
|||||||
ной случайной вследствие случайного выбора числа Л'(1) |
из |
мно |
||||||
жества {/V'0} |
и случайного характера воздействия помехи |
в ка |
||||||
нале связи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднеквадратическое |
значение |
величины |
квадрата |
ошибки |
||||
можно записать в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д tV2= |
2 m a<k- ,U |
n -- |
о И я + |
|
|
||
|
|
k= l |
|
|
|
|
|
|
+ £ |
£ у + |- 2(1 |
|
|
|
. |
|
(2.8) |
|
k - 1 |
1=1 |
|
|
|
|
|
|
|
Здесь и далее черта над выражением обозначает операцию стати стического усреднения случайной величины.
В выражении (2.8) усреднение ведется по всем значениям
/и /.
Всоответствии с правилами вычисления математического ожи
дания из |
предыдущего |
выражения |
получим |
|
|
|
д # * = 5 > 2‘к- 1ф 1Г - ^ 2 + |
|
|||
|
|
|
к =1 |
|
|
- i - v |
- |
г |
„ |
, ) '-аЧ ')-г Н„\. |
(2.9) |
к—1 1-1
Вэтой формуле Л?к1 — корреляционный момент, который равен нулю, если ошибки в разрядах k и / числа независимы.
Таким образом, вычисление среднего квадрата ошибки сводит
ся к вычислению средних значений разностей |
а ^ \ ~ |
-- Aijk и |
ajn — а\Х) = Д|,; и среднего значения квадрата |
разности |
Д^к. |
21
Введем следующие обозначения:
/?(akJ) = р к(/) — априорная вероятность появления цифры а ("
в k -м разряде передаваемого числа; |
|
||
/?(akJ)) = pk{j)— го же для принимаемого |
числа; |
|
|
р{а^)\а^)) =Pk(j\i) — апостериорная вероятность появления |
в к-ы |
||
разряде принимаемого числа цифры al1', если |
|||
передавалась цифра |
й к \ |
т. е. вероятность |
|
ошибочного приема символа а 1) вместо a(i); |
|||
^(aii1', Дк^)= A>ijk — полная вероятность |
того, |
что будет |
принят |
■СИМВОЛ Я к ’. |
|
|
|
Используя принятые обозначения, можно записать: |
|
||
ш—1ш- 1 |
|
|
|
5 ]Дцк/»*(0 -л(уЮ; |
|
(2-Ю) |
|
1 - 0 j - 0 |
|
|
|
m—1m—1 |
|
|
|
1 - 0 j - 0
Теперь
П |
Ш—1П1—1 |
|
|
= V ^ |
- 1». £ |
2 Ьы РъУУрШ + |
|
к - 1 |
1 - 0 |
j = 0 |
|
|
|
ш—1П1-1 |
|
тк + /—2 |
о - м |
2 21 |
•/>к(уюх |
к —1 Z - 1 |
|
1-0 j - 0 |
|
m—1m-1
X 2 2 ЬшР1И)щР Ш ) + К ы ( 2. 12)
1-0 j-0
2.2.ОШИБКИ ПРИ ЭКВИДИСТАНТНЫХ СИГНАЛАХ
Восновополагающей работе В. А. Котельникова |[1] показано, что коды с основанием т являются оптимальными, если сигналы,
соответствующие символам кода, расположены в пространстве сигналов на равном удалении друг от друга. В этом случае вероят ность ошибки в приеме символа при поэлементном приеме для всех символов будет одинаковой и минимальной.
22
Почти такими же свойствами обладает код, символы которого отображаются ортогональными сигналами, если т достаточно ве лико.
При использовании в качестве элементов кода сигналов с рав ными энергиями в каналах с аддитивным флуктуационным шу мом, в тех случаях, когда сигналы удовлетворяют условию взаим ной ортогональности
|
|
j 0 |
при |
р Ф q |
|
|
Qk |
при |
(2.13) |
|
О |
Р — 9, |
||
вероятность |
ошибочного |
приема символа ol'] будет постоянной |
||
для всех символов k-ro разряда: |
|
|
||
|
|
A (y'ii) — /»к o-u- |
|
|
Для канала, |
в котором |
выполняется |
приведенное выше условие |
|
и ошибки в приеме символов статистически независимы, среднее
значение величины ошибки |
в k-м разряде |
передаваемого |
числа |
|
in—1 m—1 |
|
|
|
|
2 |
X Aijk |
(y'ji) |
(*) = |
|
i ~ 0 |
j - 0 |
|
|
|
tti —P m - l |
|
ni—1 m - t |
|
|
= S S А|1кЛош-/»к(<) = A |
ОШ2 |
jA ijk M O - |
(2.14) |
|
1 - 0 j - 0 |
|
1 - 0 j - 0 |
|
|
Если все символы в k-м разряде равновероятны, т. е.
= |
(2.15) |
то последнее выражение принимает вид
m —1m -1
~щP't ош |
^Ijk- |
1 0 J - 0
Вследствие того, что i и / пробегают при суммировании одни и те же значения 0,1,..., т—1, сумма разностей
ш—1 т - 1
i - 0 j - 0
I j
ад
Тогда для канала с равновероятными ошибками в k - м разряде
■V -=- о.
Корреляционный момент Rkt также обращается в нуль вслед ствие независимости ошибок в приеме символов каждого разряда передаваемого числа.
Таким образом, второй член формулы (2.12), выражающий смещение ошибки, обращается в нуль, и средний квадрат ошибки для этого случая превращается в дисперсию ошибки:
|
|
m —1 т —1 |
А .V' == в* |
т |
(2.17) |
|
1=0 j=0 |
|
|
k= l |
На основании (2.14) и (2.15) дисперсию ошибки можно запи сать в виде
|
n |
|
|
Як-1) |
m-lm-1 |
e |
_ L Y |
|
^ |
(2.18) |
|
J |
' Р к ош |
||||
1 |
от |
|
|
i-0 j=0 |
|
|
к=1 |
|
|
||
С целью дальнейшего упрощения формулы (2.18) рассмотрим двойную сумму, стоящую в этом выражении:
in—1 m—1
V £ д2 = |
(0 _ |
0)'- + (1 - |
О)2 + (2 - О)2 + • •. + (т - |
1 - О)2 + |
|||
1-0 j=0 |
|
|
|
|
|
|
|
-!- (0 - |
1 ) 4 ( 1 - |
I)2Н (2 — I)2-j- |
+ ( / я - |
l - l )2 f |
|||
+ |
............................................... |
|
|
|
....................+ |
||
+ |
(О —а(1))2 + (1 —а1)2 + (2 - |
а(1))2-}-.. . |
-\-(т — 1 - а 1)2 + |
||||
: [0 ~ ( т - |
1)]2 + [1 — (т — l) j 2-f- [2 —(щ—-1)]2 - f \т— 1 —( т — 1)]-’ = |
||||||
= |
О2 |
12-|-22 + |
..................... |
+ ( т - |
l)2-f |
|
|
-Ь I2 + |
О2 -]-I2 |
22-|-............. |
+ [ т - |
2)2 + |
|
||
+ 22 + I2 + О2 + I2 + 22 + • •. + ( т - З)2 + |
|
||||||
+ |
.............................................................. |
|
|
|
|
+ |
|
-I (о т - |
1)2 + ( о т - 2)2 + ... + |
22 + 12 + |
02. |
(2.19) |
|||
24