Файл: Терентьев, С. Н. Цифровая передача непрерывных сообщений.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 65
Скачиваний: 0
Гак как сумма |
|
|
|
|
|
|
|
T ]i2= - g п ( п - |
1) (2 л — 1), |
(2.20) |
|
|
|
1= 0 |
|
|
|
то выражение (2.19) |
можно переписать в виде |
|
|||
П1—1ш-1 |
|
|
|
|
|
X |
X A>j = - 5- \'п {П1 — \ ) ( 2 т — \) |
(т — \)(щ - 2) (т - |
3)-f ... |
||
1=0 |
j « 0 |
|
|
|
|
|
. . . -f (т — Н - 1) (т — i) (2 т — 2 i |- 1) + . . . О, |
|
|||
или более коротко: |
|
|
|
||
|
m— 1 ill - 1 |
m - 1 |
|
|
|
|
X |
£ |
дн = 4 £ < 7 (<М“ 1)(2<7+ 1)- |
(2.21) |
|
|
1- 0 |
j - 0 |
q - 1 |
|
|
Раскрывая скобки под знаком суммы, из (2.21) получим
|
ш —1 |
m - 1 |
m —1 |
SS 4 =4 S ?з+2 ?2+т Е я- |
|||
1 j |
q - l |
q - 1 |
q = l |
Учитывая известные выражения
П
X =-J-»*(«+1')8;
q - 1
п
V '' J
2 j <J = - 2 n (n + 1),
q - 1
а также формулу (2.20), получим окончательно
гп—1 m—1
X X =
1=0 j =0
25
С учетом последнего выражения дисперсия ошибки при пере даче m-ичного числа ортогональными сигналами равных энергий имеет вид
4 ш= т(т- - 1) V т2 к 1)-Рк ош. |
(2.22) |
к»1
Полученное выражение может быть положено в основу при анализе влияния на величину средней квадратичной ошибки раз личных методов кодирования. Решение задачи по минимизации дисперсии ошибки одновременно является решением задачи син теза оптимальной в смысле критерия минимума средней квадра тичной ошибки системы передачи данных.
Принятые при выводе формулы (2.22) допущения (равенство априорных вероятностей символов разряда, эквидистантность сиг налов, отображающих символы числа) не сильно ограничивают применимость полученной формулы, поскольку в практике эти условия обычно имеют место.
2.3.ДИСПЕРСИЯ ОШИБКИ ПРИ КОГЕРЕНТНОМ
ИНЕКОГЕРЕНТНОМ ПРИЕМЕ ЭКВИДИСТАНТНЫХ СИГНАЛОВ
В тех случаях, когда для |
передачи символов «У' |
цифрового |
кода (цифр /и-ичного числа) |
используются ортогональные эквиди |
|
стантные сигналы, задача оптимального приема сводится к зада че различения т сигналов в каждом из п разрядов. В терминах принятой модели канала связи задача формулируется следующим
образом. |
передаваемых |
сигналов |
|
|
Ансамбль |
|
|||
x'k0'(/)— ^ k(^X0),X k V ) = |
.vkf/) >M\ . |
х'кт~ 1) (г) =JCk(/,)Tm_,) |
||
соответствует |
множеству |
передаваемых |
цифр {ок1’}—йк°', ак \ . . . , |
|
eL”....... аТ~". |
Значения |
X,, Хг. . . .заранее известны, статистика |
||
помех в канале также известна. Обычно в канале с аддитивным флуктуационным шумом закон распределений составляющих дис кретной выборки шума принимается нормальным, а сами состав ляющие — некоррелированными:
Здесь N0 — спектральная плотность шума.
26
Априорные вероятности /?к (i) символов |
a ll), |
а |
следователь |
||||
но, и сигналов л (|)к(0 |
известны. |
Требуется |
на интервале |
тк раз |
|||
личить сигналы, т. е. |
по принятой реализации |
z^(t) |
наилучшим |
||||
образом принять решение о том, какой |
из |
сигналов |
был послан, |
||||
и дать оценку теоретически минимальной |
вероятности |
ошибки |
|||||
приема. |
|
задача |
оптимального |
приема в |
|||
Аналогично формулируется |
|||||||
каждом разряде передаваемого числа.
В рассматриваемой ситуации, как иззестно, решение принима ется по максимуму апостериорной вероятности. Если выходными эффектами решающей схемы являются величины Aok,AJkl... ,A(m-i)k, то решение
принимается в том случае, когда |
|
Аш > /4/к, |
(2,23) |
где / = 0,1, . .. , т — 1 (/ Ф i). |
неравенствам |
Отметим, что неравенства (2.23) эквивалентны |
для соответствующих апостериорных вероятностей, так как выход
ные |
эффекты являются монотонно возрастающими |
функциями |
этих |
вероятностей: |
|
|
Ak,l « /(p fa k 'k k ). |
|
Для вычисления вероятности правильного приема |
используем |
|
условную совместную вероятность выходных эффектов |
|
|
/КAok) A]k,. . ., A (m—l/k|-^k )
и найдем вероятность правильного приема символов:
|
/« Ш м - |
ао |
^ |
= f d |
^... j" /^(Aok, Alk, ... A(m_i)k |xk*)rf Aok. . 'd A(m-i.k. (2.24) |
Вероятность ошибочного приема
p(a,(iK V j=/>ko.D == 1
27
При взаимной статистической независимости передаваемые символов и нормальном шуме выражение для совместной услов ной вероятности выходных эффектов приобретает вид
Р (^оЬ ^ik> • ■• >-^(т—1)к|-*чк) —Pui (-^ik) • \Pl (Лд) ] • (2.25)
Здесь /?х$(Л,к) —распределение вероятности выходного эффекта при наличии на входе решающей схемы прием
ника сигнала
—распределение вероятности выходных эффектов при отсутствии сигнала на входе.
Тогда вероятность ошибки в приеме символа
|
|
|
|
|
Aik |
|
|
ш- 1 |
|
|
Рк |
1 - j |
Р& (-^ik) d ^Ik ^ pi{x)dx |
|
(2.26) |
||||
При приеме полностью известных сигналов чаще всего в каче |
|||||||||
стве оптимального выходного эффекта принимают |
|
|
|||||||
|
|
|
тк |
|
|
|
|
|
(2.27) |
|
|
Л | к = Д J |
гк(0 |
Л '\t)dt. |
|
|
|||
При нормальном шуме в канале, |
когда |
|
z ]k(t) — x^(t) |
+ \(l), |
|||||
выходные эффекты (2.27) представляют собой |
нормальные слу |
||||||||
чайные |
величины с законами распределения |
вероятностей: |
|
||||||
|
|
P i ( А к) |
1 |
ч е х Р 1 - |
|
|
|
(2.28) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 /2 * . 2 А,,3’ |
( -#к)/ |
|
|
|||
|
|
Pxi {А к) — |
|
у ехр |
(Л к - 2 |
Л к2)'- |
(2.29) |
||
|
|
|
|
4 К |
|||||
|
|
|
]/ 2 тг-2 Ак |
|
|
|
|||
Подставляя эти выражения в формулу (2.26), получим |
|
||||||||
Рко |
1 /2 |
ехр |
(Лк - |
2Т/ 2 Лк-)'2 ^Лк-|Ф(Лк)]п" 1. |
(2.30) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значение этого интеграла не может быть выражено в элемен тарных функциях. Поэтому воспользуемся его приближенным вы ражением
Л ош = V~m — 1 ехр |
% - 2 In 2^. |
(2 31) |
28
где hi — |
Qk — энергия |
сигнала к -го разряда. Данная фор- |
мула справедлива при Лк2 > |
1. |
|
Дисперсия ошибки при когерентном приеме может быть запи
сана теперь с учетом (2.31) и (2.22) в виде |
|
|
|
зош = Н(/и)- V |
т2{к пехр |
1 ). |
(2.32) |
1< |
I |
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
1 |
|
( - 2 In 2). |
(2.33) |
|
|
||
Т
При некогерентном приеме, т. е. в тех случаях, когда фаза принимаемого сигнала zk(t) заранее неизвестна, законы распре деления выходных эффектов выражаются формулами:
Л ( |
Л |
^ |
^ е х р ( - ^ ) ; |
,2.34, |
р -Л А к ) = т ^ |
{ |
~ |
) - /» w - |
<2-35) |
/Здесь /0(Лr) — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка. Подстановка этих выражений в (2.26) дает
m -1 |
|
|
D |
' ^ ^ - i ’/ip y e x p ^ - ф ^ -hl j. |
(2.36) |
i=i |
|
|
Легко видеть, что при |
m = 2 формула переходит в хорошо извест |
|
ную формулу для вероятности |
ошибки п)зи приеме бинарных сиг |
|
налов со случайной фазой и равными энергиями: |
|
|
Рк ош 2 |
1 |
(2.37) |
2 е 2 ' |
||
Дисперсия ошибки при некогерентном приемеэквидистантных сигналов в любом разряде m-ичного числа
т - 1
Зк ощ = -g- гп{т2- 1)-/и2(к_1) J ] ( - 1),+ ^ c L - i r ^ e x p / - t - ~ A k J. i=i
(2.38)
29