Файл: Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие].pdf

н у ж н о е

у т в е р ж д е н и е с л е д у е т и з лемм ы 1 . 2 .

С

л е д с т в и е .

П у с т ь

I “Dx,

Н 5, у, о* С С ) — * И s-iw.J'iA С с )

н е п р е р ы в н о о б р а т и м .

С п р а в е д л и в а

т а к ж е с о о т в е т с т в у ю щ а я ( э к в и в а л е н т н а я ) ф о р м у л и ­

р о в к а об о б л а с т и

с у щ е с т в о в а н и я р е а л и з а ц и и .

п е р е в о д и т , к а к н е т р у д н о у в и д е т ь ,

о б р а т н о п а р а б о л и ч е с к и е д и ф ф е ­

р е н ц и а л ь н ы е в ы р а ж е н и я № ( " п р я м о ) п а р а б о л и ч е с к и е .

З а м е н а ( 3 2 . 2 )

в с и л у л и н е й н о с т и п р е о б р а з о в а н и я

Ф у р ь е и н д у ц и р у е т

а в т о м о р ф и з м

-.Г*

н к<

с #4 K

£-■

Т о г д а

для

д о с т а т о ч н о

б о л ь ш и х

о т р и ц а т е л ь н ы х

ч и с е л ы. о п е р а ­

т о р

Э О ' І Ѵ .

. ц

S/ f ,*

[ С ) — ь

H i -

<и,

С с )

непрерывно

обратим.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Как следует

из

теоремы

конечности

(§

2

п .І)

и теоремы 8.2

для достаточно

больших отри­

цательных

сА .

существует такой

оператор

R :

R

•'

И

S'*, у, <*. C Q

— *■ Ч s,г,ct С.с)з

что

• И - Т

: Н s,(T, * ( с )

—

H s , r , « f c J

. Л

, следовательно

и оператор £) непрерывно

непрерывно обратим'

обратим. Теорема 9.2

полностью доказана.

3. Квазиэллиптические и параболические уравнения (конкрет­

ные примеры).

В этом пункте

мы рассмотрим несколько конкретных

примеров уравнений,

для которых все

вычисления и в первую оче­

общей

теории и во-вторых.проследить за

расположением спектра

в зависимости от различных параметров задачи (коэффициентов

уравнения, размерности пространства, порядка уравнения).

а) Оператор Лапласа на цилиндре

Ь

IN

Рассмотрим

уравнение

Э Ч с

+ а 2е

i-Cè dZlL

(33.2)

н -

П'- =-4Cxti:),

где

О- - некоторая

вещественная постоянная,

о

* Ѳ

и

_оо <

-J. о» • Отметим прежде

всего,

что

из

условия

(квази)

эллиптичности

следует, что

ф У-

*

После преобразования Фурье уравнение

(33.2)

преобразуется

в семейство уравнений на окружности

и

(*■! t )

і

<3tt.2)

■ й С х , і )

и

{ & ' - )

в р я д Ф ур ье п о с и с т е м е

{ е (' К* }

к ~ о , і і., і 2 , . - ■ ■

( з н а к

^

мы о п у с к а е м ) :

,

:

YJК ! ~, о о

>

и С * , і ) = ~ ~

- С . к х .

b b & e '

I

-і*о

‘

і )

=

’°'4

Т -

f v W e .

к~-^=

Т о г д а с е м е й с т в о ( 3 4 . 2 ) п е р е й д е т в с е м е й с т в о а л г е б р а и ч е с к и х

у р а в н е н и й ,

п а р а м е т р и з о в а н н ы х н ак р ы т и ем ~Z х

(Г. — *

(Г

i t ' 9

/іс L&)

_

а гг

к 1-) и к Сі) =

Т аки м о б р а з о м

}

4 * &

ив-

т а к ч т о

В2- K * a Lt

d - t

L ' O >.

U. I

- Н

Ju .[2)

«

Ь - й

Ь

і

‘

йг-

£ ся г£ v*C^ с/2

Ы-L =>°

“ ,1

i * - o ’ K 4 l *

2-г— а*-

л'

Ъ = d I k / l a l e

iC-b

,

X- - = ti, i ■!> ■■■ ■

и полюс

i

- О

кратности

2 . Полюса, расположены в точках пере­

сечения

прямой

cft,f 2

и семейства концентрических окруж­

ностей

г

-

j a f / K l

: