Файл: Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие].pdf

существует и единственное

(формальное)

решение

уравнения (33.2)

Г - Z - i

~f о#

-Cu-*- f * & )

d i

'U C rjt)

г

2 Г - «

iF - alttu

<?пч'

к =■-=**

Введем теперь

пространство

И

С^ -)

-

Н

полагая

J

И(I S ,I,A ~ i

L (Ь*-+l& r) S I ІКІ&Г

J 2- .

1

к * -«о

(Поскольку функции

-іѴ

*.

К«'в/ і

і ( .

являются

собственными

£

J

функциями для оператора - £ , г -

одномерного положительного one-

эквивалентна норме,

введенной в г л .І).

Теперь из общей теории следует (что впрочем нетрудно

показать и непосредственно) что если

f f a - k )

f~H s~i, i

<<

я Л ± І ЩІСХІ 0 4 4

, к. = 0, 4 L, i 2, .. .

, то

существует

и

приток единственное

решение и р - Ц $ і і / с<

уравнения (33 .2)

Отметим такте,

что как видно на этом простом частном слу­

чае, полюса функции

Ъ (&) могут быть расположены весьма

про­

извольно на комплексной плоскости. Они

могут быть

вещественные

(при А - О )

и комплексные

при

# £ 0

х)„ полюса

могут распо-

х)

чисто мнимые«

і

'но не

лагаться

как угодно

близко

друг к другу (если число |Q| мало)

и как угодно

далеко

(если

число

]я]

велико).

Из

общей

теории

известно,

что

в каждом круге конечного

ло

полюсов функции

"Ь*1[Z )

. из

приведенного примера видно,

что

это число может быть любым четным числом.

Получим в заключение асимптотическое разложение решения

уравнения

(3 3 .2 ). Поскольку

все

полюса, кроме нулевого, функциі

-

простые,

асимптотический

ряд есть разложение по плос­

ким волнам

t

f

O

Oto - ir -)t b o +=

О и - е .

к = -о *

к*О

В

частности,

если

$ 11 О ,

то

это

разложение

принимает

совсем

простой вид

;

+

К. *-

с ъ с п с * * * * )

х

к.*с>

і

) Оператор Лапласа на цилиндре

С ^ X ІЯ ^

^______ _ _ _ • Рассмотрим

уравнение

Лапласа

на цилиндре ^основанием которрхр служит

^

-мерная сфера

г

г-

*

(35,2)

Здесь

Л

-оператор

Лапласа на

(единичной) сфере

S

Н г К +

М л

=■•$•

( 3 6

. 2 )

н а ед и н и ч н о й с ф е р е

S

. И з в е с т н о ( с м . , н а п р и м е р , [ ^ ] ) , ч т о

ние

= - к .( к т п - А )

. Р а зл о ж и м

т е п е р ь ф у н к ц и и - f C ^ y

и и С < і У в р я д п о с о б с т в е н н ы м ф у н к ц и я м

-+

і а Ы і і ) ^

2Г uicCZ)

-f oo

l i z ' Z - j -

ZL

Ь-ысО*-)

1

к - o e

Т о г д а с е м е й с т в о ( 3 6 . 2 ) п е р е й д е т в с е м е й с т в о а л г е б р а и ч е с ­

к и х у р а в н е н и й

( i z -

к* * ■ * * - * ) ) U

fa . (Z )t

u M ) - _ l —

(

- * t ^

с/г-

если <*

t - ^ C M n - 4 . )

; Н Ш.-0 , t l , ± J j . - . ‘ .

Т ак и м о б р а з о м , мы п о к а з а л и , ч т о t>_ , f £ ) е с т ь м ер ом о рф м ая

ф ун к ц и я

1

t

■

TT’( S J

= F K,

--------------------

к. 0 + n~l ) r

<

г д е ч е р е з

F

о б о з н а ч е н д и ск р етн ы Гі [ J . )

- о п е р а т о р Ф ур ье н а сф е р е

Ъ Ч С * )

. Мы

в и д и м ,

ч т о ф у н к ц и я Ѣ '!С 2-) с у т ь

м ер о м о р ф н ая ф унк

ц и я с в е щ е ст в е н н ы м и п о л и с а м и

2

-

-±

м и - і )

п р о ст ы м и д л я К

ф

О

и п о л ю со м г — О

с к р а т н о с т ь ю 2 . И н т е р е с —

с

*"■

но о т м е т и т ь , ч т о пр и у в е л и ч е н и и р а з м е р н о с т и сф ер ы

п о л ю с а

ф у н к ц и и Ъ ~‘ ( і )

у х о д я т в б е с к о н е ч н о с т ь ( п о в е щ е с т в е н н о й о с и ) ,

т а к ч т о

д л я

к р у г а

п р о и з в о л ь н о б о л ь ш о г о

р а д и у с а

Л і

можно п о д о ­

б р а т ь н а с т о л ь к о бо л ь ш о е ч и с л о Я - Я ( Н ) , ч т о в с е у р а в н е н и я

( 3 5 . 2 ) с

и .>

Я

б у д у т

о д н о з н а ч н о р азр еш и м ы при* в с е х

Ы- <с М

К(тгЬ)

подягармонического уравнения на цилиндре

С -

к

*

4 & , і г ) .

(3 7 '2)

Переходя к преобразованию Фурье по переменной

"t и разла-

гая в ряд Фурье функции и

и j

(х,і ) по переменной д.

имеет полюса

I =

і

I к

.■*. ^

с кратностями,

равными

ч

и полюс

£ = -0 с кратностью Aw-

Решение

уравнения (3-?-2) дается

формулой

+ «<з

<Ц(Х,±) = - 1 - 7

{

р - 2

+

J т

■> с

~ ^ —

/г-2- к О 14 г

J е

иС*(Ь)

+ 2Г o x t +

р

А»- !

Hz-/

je .

* '7 0

W

Р-шч Cé),

ПОЛИНОМЫ от

Т