Файл: Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие].pdf

а

РЛм. 4

№

-

полином

от "і степени

Д м - d. .

J ) Уравнение теплопроводности. Рассмотрим квазиэллиптичес­

кое

уравнение

рода 2

Э и .

И :

■і CLz t-

(38.2)

Здесь

а

-

вещественное

число и

!Ь\

£

А-

,

(39.2)

Соответствующее

семейство

имеет

вид

(

t

-

k-z a z e

1* J U K ,(Z)

=

■{-“'С?) _

Отсюда видно,

что функция

имеет

простые

полюса, рас-

положенные

на

луче

а

t

і

-

ö

(40.2)

и,

в силу

условия

(3 9 .2 ),

эти

полюса расположены в правой полу­

плоскости

в

точках

пересечения

прямой

(40 .2) и

семейства кон­

центрических

окружностей

\ і \

-

as- Ісг е 1®

Отсюда следует,

что

при

^

Л*1

к£&54J ^

У- о . Ц, . -

решение задачи

(3 8 .2 )

дается

формулой

.t ..

=J€

k

а--& г& о v

2-f

--•=*

— -------------TZ

e

llC x tb )

^ 2—

-

а* кг е.1'Ч

One,

e

с о в

Д ля

у р а в н е н и я

(38 .2) с п р а в е д л и в ы

вы воды

о п о в е д е н и и полю ­

при

и з м е н е н и и

ч и с л а

Л

,

у к а з а н н ы е

в

п . а ) .

В ч а с т н о с т и ,

можно

в с е г д а

в з я т ь

н а с т о л ь к о

бол ьш ое

ч и с л о

Q

,

ч т о б ы

у р а в н е ­

н и е

(38.2) бы ло р а зр е ш и м о д л я

- f f r И

А

с

любым

ч и с л о м

A - A Ot

е ) Н а р а с п о л о ж е н и е п о л ю с о в в л и я е т и п о к а з а т е л ь

. Р а с ­

с м о т р и м , н а п р и м е р , к в а з и ь л л и п т и ч е с к о е у р а в н е н и е р о д а

4 щ.

âU.

9

UL

П о л ю са

діг

7rx H*L-

,

к а к л е г к о

в и д е т ь ,

м ер ом о р ф н ой

ф у н к ц и и

ri>~'C^r)

с у т ь н а т у р а л ь н ы е ч и с л а

2 = .

J c ^

О т сю д а

можно с д е л а т ь в ы в о д ,

ч т о

д л я

л ю б о г о А ф О в с е г д а

мож но

в з я т ь н а с т о л ь к о бо л ь ш о е ч и с л о

%Е ®

) ч т о б ы у р а в н е ­

ние

бы ло

о д и о з н а ;н о

р азр еш и м о в

к л а с с е

U ( -

Н

s , f , A

£

) •

Д о

с и х

пор

м т

р а с с м а т р и в а л и

т о л ь , и

к в а з и э л л и п т и ч е с к и е

у р а в н е н и я

ц е л о г о ( и д аж е ч е т н о г о )

р о д а , ч т о в л е к л о з а с о б о й

р а с п о л о ж е н и е п о л ю с о в , п р и к о т о р о м

р а с с т о я н и е м еж д у д в у м я

З д е с ь ^ ^

И

1! + ■*£*

= j6 c.rt)

, с о о т в е т с т в у ю щ е е а л г е б р а и ч е с к о е с е м е й с т в о и м е е т

в и д

С2

а: 2;)

т а к ч т о п о л ю с а ф у н к ц и и Ъ ~ !( & ) с у т ь

іг- i Y/к/ }

к - о,± d,±£;■ ■■

Г Л А В А

Ш.

f-J

К в а э и э л л и п т и ч е с к и е у р а в н е н и я в п р о с т р а н с т в а х

н а ц и л и н д р е с к р а е м .

§ 2 . К р а е в ы е з а д а ч и д л я у р а в н е н и й с п о с т о я н н ы м и п о t

к о э ф ­

ф и ц и е н т а м и .

1 . Т е о р е м а об и з о м о р ф и з м е .

і с *

2 . А с и м п т о т и ч е с к о е п р е д с т а в л е н и е р е ш е н и я п р и "t

3 . Р е г у л я р н о с т ь .

к о э ф ­

§ 3 * К р а е в ы е з а д а ч и д л я у р а в н е н и й с п ер е м е н н ы м и п о £

ф и ц и е н т а м и .

зам к н у т ы й к р а й

.

В э т о м

с л у ч а е

к в а з и э л л и п т и ч е с к и й

о п е р а т о р !»

п о р я д к а ілс

н а

ц и л и н д р е

С

=

X

* R

•#

fr

' '

[

•

H s ,} -,*

Сс) — 4 Н

(с)

[•

I'

уже

н е б у д е т

ф р е д г о л ь м о в ы м

д а х е

п р и

н е о с о б о м

• н е т р у д н о

F

[

Ы

Iі

п о к а з а т ь , ч т о е г о я д р о б у д е т и м е т ь б е с к о н е ч н у ю р а з м е р н о с т ь .

'

Для

у с т р а н е н и я

э т о й н е о д н о з н а ч н о с т и

мы ,

к а к

э т о

о б ы ч н о

и - д е л а -

і

е т с я в э л л и п т и ч е с к о й т е о р и и , р а с с м о т р и м п а р у ( ѣ / & ) , г д е 5 “ [

]і

с о в о к у п н о с т ь н е к о т о р ы х г р а н и ч н ы х о п е р а т о р о в ^ п о р я д к о в

|>

( з д е с ь дС-- d X f / R

) и н а л о ж и м т а к и е у с л о в и я н а э т у п а р у ,ч т о б ы !

п о л уч ен н ы й о п е р а т о р .

і

С

в)

н S,г,* Сс) - *

Cc)@Hs-6r j.Г,*(*с)

уже

был

ф р е д г о л ь м о в ы м .

§ I . О с н о в н ы е о п р е д е л е н и я

I * Ф у н к ц и о н а л ь н ы е п р о с т р а н с т в а . П у с т ь X - г л а д к о е м н о г о ­

о б р а з и е с к р а е м д X

. К а к и в г л а в е П ч е р е з С

мы б у д е м о б о ­

з н а ч а т ь

ц и л и н д р

X

'

ß

*■1 [-■ *>,=

4 о

- . X).

Е с л и

в в е с т и в

прямом п р о и з в е д е н и и

к о о р д и н а т ы

( р с , і )

;

x f -

) ( , -t

е Ik 1