Файл: Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие].pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 105
Скачиваний: 0
либо |
одного подмногообразия Хр |
• |
Болев того, мы мохем считать |
|
что |
это подмногообразие является |
гиперплоскостью (и дахе под- |
||
пространством) |
іОК |
с координатами х = |
||
в пространстве |Р> |
|
|||
=L x f '!f) = |
■■ У |
У |
так 410 подмногообразіе |
|
Х<р |
задается |
уравнением |
|
|
или, коротко, |
U . Введем |
обозначение |
|
|
|||||
|
ь = |
-t f * |
|
|
|
|
|
||
Нас будет интересовать поведение решения |
|
задач« |
|||||||
(2 7 .4 ) |
, (28 .4) |
вблизи |
начала |
координат. В статье [ і і ] мы пока |
|||||
зали, |
что функция |
|
, |
являющаяся решением задачи |
|||||
|
Ъ |
|
|
и С х ',у ) = о |
(**<і |
О |
(29>2() |
||
& |
С * ' , ] ,Ък.1>2) |
К, С*'.]) - |
О |
«-а |
|
(30 .4) |
|||
бесконечно-дифференцируема по переменным эс! |
. Отсюда ухе не |
||||||||
трудно |
показать, |
что асимптотическое |
поведение решения задачу |
||||||
(2 9 .4 ) |
, (30 .4) |
не зависит от |
операторов Ъ |
(они |
влияют на |
||||
гладкость лишь по переменным х |
) . |
Поэтому мы |
будем |
исслрДО- |
|||||
вагь решение уравнения |
(29 .4) без |
граничных условий £39,**)• |
|||||||
Предположим вначале, |
что |
>і~ о . в этом случае .сравнение |
|||||||
і>Су, Л tfj ч.(у)5г О |
( |
|
|
|
|
(31*4) |
|||
можно переписать в виде |
уравнения |
|
|
|
|
||||
|
|
- |
141 - |
|
|
|
|
|
|
J > 0 ^ |
я * Г |
5)“ ^ |
) . |
|
|
1*1* X |
|
|
|
Здесь |
* |
; ; |
і и =. if /f ^.... -г |
\ % ( . $ ) - |
|
Пусть функция |
Kf^) |
•йе |
- |
* |
B |
|
|
C<R^)=Hs |
||||||
согласия с определенна 8.4 |
будем искать асимптотическое разло |
||||||
жение функции |
Kty) |
в видэ |
(формального) |
асимптотического |
ряда^ |
||
|
U= |
U e f U n . . . |
t |
|
|
|
|
где |
f |
|
|
|
|
|
|
|
t t i ^ v = - 0 |
|
H s t * ' <J |
|
(32 .4) |
|
|
|
Для репения этой задачи разложим коэффициенты оператора |
||||||
|
Э |
* Е а*.(у; '3* |
|
|
|
||
(по |
предположение гладкие функции £ ) в формальный |
ряд Тейло |
|||||
ра, |
записывая |
их по следующей треугольной |
схеме |
|
|
||
|
|
О |
|
с |
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
+ Ö-4« 2•+ |
а * * - • |
|
||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
t О - Д -t 7 + |
|
|
|
- 142 -
О іл*- Ь |
а |
L |
А |
|
ІЛ4- V |
+ а 4ы- 1 Ѵ . . . |
|
&Хч- Ъ |
|
|
< 4 І А + ■■• |
|
|
|
о этими формальными рядами мы ассоциируем бесконечную матрицу
0 ~ім. |
|
|
|
|
|
GL. |
% |
|
|
|
а Д , Л \ ~ . |
А.'«- |
|
|
|
|
|
|
п |
O'1“’1- |
*■ |
Іы-І |
і |
|
^ІЧЛ-Ѵ |
|
OL. .Ч |
75 |
Л |
|
|
|
|
5»-1 |
|
|
|
|
в ‘ - ‘ ч г ' |
a * . . , » 1- ; * |
|
Q. а^-5 . .
Образуем теперь операторы
j ^ 1 j • • •
как формальную сумму элементов данного столбца, так что, например,
- 143 -
Ъо = й ,° |
Ч) ^ |
) |
2Ку |
** |
>
&«*>• I»
в вообще
|
|
I w ' J |
Таким образом, |
оператор ^ |
мы можем представить в виде |
формального ряда |
|
|
—'Іо |
+”*> 1 +' ■ |
|
Уравнение (31.4) можно переписать теперь в следующем формальном виде
( ^o-t D ^ . . . . ) ( u t x u i * . - ■) =■ Z J s * * ( y . )
К-
Отсюда^ согласии с требованием (3 2 .4 ^ функции U.е , и ^ .. .
являются решениями следующей (эллиптической) треугольной
системы уравнений |
! |
- 144 -
\
(33 .4)
1 Doy
где |
через <2>,£,(3>s t- f |
мы обозначили формы степеней |
х |
|
j |
|||
от |
дифференциальных операторов |
д у і.> - |
^1,у |
|
|
*' 'l |
||
|
Систему уравнений |
(3 3 .4 ) |
можно явно решить. Мы этого |
для |
j |
|||
простоты делать не будем, а решим ее лишь |
по модулю кольца |
|
\ |
|||||
|
[ |
|||||||
полиномов. |
|
|
|
|
|
|
j |
|
|
Из предположения |
(32 .4) следует,- что |
функции |
И», |
|
. |
|
|
.во |
всяком случае распределения |
над пространством |
- |
финит- |
! |
|||
ных бесконечнодифференцируемых функций. Правые части |
исисте- . |
|||
ме (3 3 .4 ) также являются распределениями |
над тем |
же |
простран- |
[. |
ством. Поэтому мы можем перейти в системе |
(3 3 .4 ) |
к преобразова |
||
нию Фурье (в смысле теории распределений |
|
В результате |
; |
|
мы получаем систему уравнений с полиномиальными коэффициентами, у которой по диагонали стоят алгебраические операторы (диффе- •
ренциальные операторы нулевого порядка). ,
- 145 -
3>o
ч
. 0 |
Т |
л ,
-Ьо |
Г |
|
v |
V ■ |
(3 4 .4 ) |
V ‘ - |
|
|
Здесь через |
|
|
|
|
мы |
обозначили |
переменнуі |
||||
двойственную к |
переменной' |
^ = |
. |
у * ) |
относительно |
|||||||
преобразования |
Фурье |
F |
и |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
■ |
b |
|
f = |
F |
- |
* |
- |
э > |
г |
F |
|
Система (3 4 .4 ) решается рехуррентно. Из первого |
уравнения |
||||||||||
|
|
'Х ~ |
|
-V |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Do |
U0 = |
|
|
|
|
|
|
|
||
следует, |
что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(35 .4) |
где |
(о = |
V |
|
|
} |
- распределение, |
отвечающее обыч |
|||||
ной |
(формально |
однородной) |
функции |
f ^ |
и |
|
fco) |
— |
||||
бесконечно дифференцируемая функция (поскольку оператор квази |
|
|
эллиптический). |
* |
! |
- 146 -