Файл: Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие].pdf

(3 6 .4 )

где

через

101 обозначили

кольцо

полиномов с

комплексными'

коэффциевтами

от

переменных

.

Продолжая этот процессами

можем найти компоненты

...

с

любым сколь угодно

большим

номером при этом

' V

-

t-тН'У

f , ' “’) ?

и,

в силу квазиэллиптячности

оператора

все функции

<ь~0} 1 , 2 , ... .

СУІЬ

бесконечнодифференцируемые

функции

на сфере S

•

Возвращаясь теперь

к переменным

^

к

Е. *

V

у *-

> мы получим,

что функции

■'

r

■fk.tjесли

- эе*<| 'V

-ч е т н о е число

>чі

- л т ^

'

являются ренения

системы (3 3 .4 )

по модулю

кольца много­

членов.

■'Сравнение

(3 5 .4 )

вообще

говоря

не является

равенством,

поскольку регуляризация

р *

для _л =

-

V - 2 к ,

\с-=. о ; а,г, ..

не является канонической

м

и обычная формула дифференциру­

емая

верна по модулю

(£ £

£*

Таким образен^сравнение

(3 9 .4 ),

а вместе

с ним и асимпто­

тичность

ряда (3 8 .4 )

доказана.

4 . Асимптотика присоединенных функций,

j

Рассмотрим вначале задачу асимптотического разложения при-\!

соединенной функции І-го порядка. По определению, такая функция

fr H s

0 0

является решением граничной

задачи

Соболева-

I

I

ЪЪк,и?- - &LСт&*,*»)*сVу*>)

г

Штурмь-Лиувилля

•*

і

г

■>

!•

Ъ С-Х'Ътс,

-В

£ £ . /

2 * ,

&

, ) « <

>

**

Xf

>

I

где

и 0

-

собственная

функция,

отвечающая тому же

собствен-

:

ному

значению, а

/

и

а /

-

суть

производные

операторно-

!

D*

'

значных функций

с

я

В £*)

по

параметру

£ . Налом-

I

Э С *)

і

ним, что эти функция аналитичны для

всех

£

, а,

следовательно

их производные существуют и являются

ограниченным« операторами

1

в каждой точке комплексной плоскости

С

. Отметим также, что

поскольку параметр £

входит лишь в младшие (относительно диф-1

ференцнрования)

члены операторов

Х>

и

Ь

,

то

операторы Ъ /

пе, чем операторы D a

ß » .

!

Как и в случае собственных функций, мы предположим, что

многообразие

Х^>

со<

г с из

одной

точки

(начала координат) в .

пространстве

IR

и функция

U. ^ (г

Н $

является реме—

ъ) и

' ~

3

г) иЬ'і

*

u

во

всем пространстве

1^7

Как и в п .З,

мы будем

искать

асимптотическое представле­

ние

функции U-1 & И £

в виде

(формального) ряда

3)

е Ро + Т)л * ■• • ,

а оператор -

D ^

в виде формального ряда

- Ъ г =

Э / + ; Ъл'->

Будем искать

компоненты ряда

(4 0 .4 ) как решение

следую­

щей системы уравнение с полиномиальными коэффициентами

М

О

\

I

-V

4>*'’д

V

\ \

-

(41.4)

V

/