Файл: Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие].pdf

Перейдем теперь к доказательству теоремч в общем случае

г

подмногообразий, имеющих произвольное число измерений. Применяя

схему,

изложенную

в п .п .3 ,4

мы

получим

гладкое

семейство

уравне­

ний

вида (3 3 .4 ),

(4 1 .4 ),

(4 3 .4 )

для

композиций

соответствующего

формального ряда, параметризованного точками многообразия

f

Теперь можно "поточечно"применить схему и рассуждения

п .п .3 ,4

полупить нужное представление-, причем гладкость функций

вдоль

многообразия

Х-р

будет следовать из теоремы о регулярном

решения задачи Соболева вдоль подмногообразия, которая была на­

ми доказана

в статье

.

Таким образом,

теорема

3,4

полно­

стью доказана.

I

§ 3 . Квазиэллиптические задачи типа С.Л.Соболева

на

беск о -‘

нечном цилиндре.

Пусть

X

“

гладкое

компактное многообразие

без

края

и

!

^

'С

ег0

подмногообразия

коразмерностями

^

v

- p

J

1

р

и

ч

*

с

М

ы

и

б

У

д

Се - м

р

X а

г

с*

с

Rм а

ц и л и н

д

е

к

е

п

о

хд

м К н

о

о

о

б

Координаты (зг,

t)

прямого

произведения

в цилиндре

Син-,

дуцируют координаты в прямых произведениях

Х,р

* R 1

,

кото­

рые

мы

будем

обозначать

через

( х -р,~Ь) .

I .

Функциональные

пространства. В главе I мы

ввели простраі

ства

Н s г КI

С с )

с помощью положительного оператора Лаплаі

са

Д

, ассоциированного

с

некоторой

римановой метрикой

на

j

многообразии

X

.

Эта метрика,

которую мы считаем фиксирован­

ной,

ивдуцирует

римановы метрики

на подмногообразиях

Х^>и,сле­

довательно,

можно корректно

определить

(положилельные)

оператор:

Лапласа

Д р

на

подмногообразиях

А.^ .

Это позволяет

ввести

следующие

функциональные пространства.

Определение

9 .4 .

Пусть

( s ,

Г; * )

-

тройка веществен­

ных чисел. Под

ш

0УДем понимать

пространство

распределений

с

нормой

« tlls'w

-

J

І І Ы Ѵ

ігІГ

О

Ч

^

.

Аналогично

вводятся пространства

Н S, У'юЦ(0*_

2 .

Граничные

операторы элементарный и общий

вводятся

ное утверждение непрерывности.

П р е д л о ж е н и е

4 .4 .

Пусть

коразмерность

многооб­

разия Ху в

X (а следовательно

и Cj, в

С ) равна

.

Тогда

граничный

оператор

Ь - р

;

К

JT( С)»« *

^

S - ^ f

С C p )

порядка

является

непрерывным отображением,если

g> R

Д о к а з а т е л ь с т в о

проводится аналогично

дока­

"стационарной"

теорией

об ограниченности.

3.

Задачи для уравнений с коэффициентами, не зависящи

от

времени.Пусть

Q -

)( у $ 1

цилиндр и

Cp

Хр *№ ^ ?

^

-С. -

цилиндрические подмногообразия

цилиндра

С е

коразмерностями

(? С )

равными

Yj» . Раѳомстрим

задачу

С.Л»

Соболева

тг,,

где постоянная ceu-Ft

не

зависит

от

Функции

ю

Д о к а з а т е л ь с т в о

аналогично

доказательству тео­

рем существования главы П и Ш.

З а м е ч а н и е

2 .4 . Если

реализовать

дифференциальные

выражения (£>,£>) как (непрерывный) оператор

CD/В )

W -

H

s

-

n

Ф й г

у

ѴСр

'

rj

i

c f

) ,

то для кваэизплиптического оператора ('Ь/Ь) справедлива теорема

об изоморфизме.

4 .

Асимптотическое

представление решения

вблизи

граничны

подмногообразий и при -fr

->

.=*

t>° .

Т е о р е м а

5 .4 .

Пусть

функция

и(х.і~к) Ѳ- H s,f,d

Сс)

и пусть,.функции

4Сх, t ) £ Нs

к

(с )

, f h -fr Hs '-*>/

где

d. X

Ы. i

}

S *

"S

^ . Тогда в некоторой трубчатой окрест­

ности

подмногообразия

С^>

решение

и.[а, -6)

задачи

(4 7 .4 ).

(4 5 .4 )

может

быть представлено

в следующем виде

=

г

z f ' - é

‘е

- г ‘ Ѵ

г

Qc *-<j Сш) p

•м- i - X t j

-t

*

С=о

[ ?

и ( - І )

■

)

f

+\

(46 .4)

) 4 U i C

.

Здесь

Оц.-ц

(X )

- бескрнечно-дифференцируеные

функции

в труб­

чатой

окрестности

многообразия

Cj> ,

р

-

расстояние

от

точ- і

ки ( а

t )

до

подмногообразия

С ^

. Внешнее

суммирование

производится

по

всем полюсам

-

156

-