Файл: Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие].pdf

Скачать файл (6,13Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 98

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Кваэиэллиптические уравненияГ Л А В А					вУпространствах.		К
В в е д е н и е
§ I . Кваэиэллиптические уравнения в пространствах								Н S(
	С	olf <		oL..
	1 . Teopeua об эпиморфизме.
	2 . Теорема об изоморфизме.
§	2 . Кваэиэллиптические уравнения					в пространствах		Н	s,
	0	^ -	<	<А+-
	1 . Теорема о мономорфизме.
	2 . Теорема об изоморфизме.
§	3. Примеры.
	1. Уравнения в пространстве					И 5іУ,<*+)С/и	С	оЦ	оі
		а)	Уравнение Лапласа.
		б)	Полигармоническое		уравнение.
	2 . Уравнения в пространстве					Н S, jf, «м-, Л -	с-		<'
						'			і-(

Вв е д е н и е

Вэтой главе мы построим Теорию разрешимости для кваэи-

эллиптических уравнений в пространствах				типа Ң s , <<4	.
Эти пространства		были введены в гл .І, и^главах П-ІУ
играли вспомогательную роль в вопросах			разрешимости: для
				«•
случая постоянных коэффициентов мы их. не				использовали вовсе,
что же касаѳтоя переменных коэффициентов, ^пространства
Н Si у, <*.+,	С О	использовались		лишь как техническое
средство в ходе доказательств теоремы конечности. Мел^у тем
теория квазиэллипуических уравнений в пространствах

С еС ^

M S i J f i c i + j s J . -

t которую ш развиваем ниже,

весьма интересна и ух во всяком случае богаче. В самом деле, включая как частных случай ( <£а- =- d-- — oL ) , всю развитую

выше теорию, она содержит ряд новых эффектов, которые отсутств

вали в предельном случае. Главный из них состоит в том, что да хе в случае постоянных коэффициентов уравнение ухе не будет

вообщ° говоря однозначно разрешимым, а будет лишь нормально разрешимым. Отметим также, что мы рассматривали в этой главе лишь случай компактного многообразия X без края. Изучение кра евых задач для квазиэллиптических уравнений в пространствах

И S, j-,'<*ч I <^- , а также проблемы С.Л.Сиболева проводится

по-плану глав Ш-ІУ с использованием результатов настоящей гла вы.

§ I . Квазиэллиптические дифференциальные, уравнения								в
пространствах			H s , y ,	* + і0и с		с	.
I . Теорема об эпиморфизме.
Т е о р е м а 1 .5 .					Пусть		-квазиэллип
тическое	дифференциальное				выцахение	рода 'jf	и порядка	>^	и
пусть - о °		^	оі +	^ -і	Тогда	опенатоп
Э	:	Н	,0(+>с<s , у -	Сс)				^ 1	* 5 ^

эпиморфен (а,следовательно, и гомоморфен) для любых веществен ных £ ■ и любых вещественных d 4 и ^ _ - за исключением некоторого дискретного множества. Более того, если оба числа

иotконечны;

— О 0 <£. 0/4 <

-f- О О г

то (эпиморфный) оператор jj) имеет конечномерное ядро.

- 162 -

Д о к а з а т е л ь с т в о . Общее решение уравнения

T t J и	(2j '
складывается, как известно, из	частного решения и общего решв'
ния однородного уравнения
' Ъ С х < Ъ х , Т г ) г с - 0	.

Остановимся вначале на первой части задачи. Пусть

2.
Г Н с і і ) = і	-
с

гладкое разбиение единицы оси

1, )

Ъ Ш

ö , t * 0 .

0 , - t r i ,

1 , +<■■ о

Тогда

j-fx-тУ^X"Ч ;с(*Ь ) f - C x it ) - F iC x .- i) - t h i f a t y t

где

F cCx'ü

Поскольку

-16

J'Cx-t'k)

s- ы,

у , *

(

£ )

* то

<t) е

'H s -N .

л f

( c )

!! F,Ü S-«. г, *4-

f|| i .Wl r,

(lu5)

)

И F i

I !

s - N , Г , * -

* f

l /

s . * , , r , A 4 ,

( 5 - 5 )

Поэтом; уравнение

i M

)

имеет ж притом единственное

ревение

U j C x t é )

& H s t f iaL+- ( с )

для

всех

любых яеосойых

изболев

того^для этого

решения справедливо следующее неравенство

ц і I

s , w +

Fiji

(6 .5 )

Аналогичном образом,

уравнение

Т)1:Сі<2)*.,ff-J

^f i C x i t y

однозначно разрешимо в классе

дан всех

■ любых яеособых

для

решен»

справедливо,

неравенство

1 * Н І 5 ,У ,* .

IIFj §

(7 .5 )

- т -

Положим	теперь
b'Crtt)	=	K i f r i 't ) t	.
Непосредственно		проверяется,	что функция	1г(^,Ь)	является
(частный) формальным решением уравнения				(2 .5 ) . Более	того для
нормы функции		справедливо неравенство

I I ѵ ч

i ) " ,)é - ~Л

£■

(

и л

е р а в

|f Wi

II s , $}еЦ/0и

■+l! U i ЦS/ft

)

* (в силу предложения 2.2)

И ч

I I S . r . ti l ^ I I S,

. i

c“ y

<6’5)l

<7-5»

Итак,F,|| s.„,

■j-Cxrt)

& И

( , - 5 ) '

( 5 - 5 ) )

<а1‘-

< *

c “

If til S>-I4,f

•

для

любой функции

I е**

и неособые

)

найдено некоторое

решение

v-Cxrt) £ Ц $,)[><*+,6 -

Этим доказана

эпиморфность,

а,

следов .тельно,

и грмоморфверть

оператора(і.5.) Исследуем теперь ядро ajePP

оператора Н РйучйР

конечных чисел

сА+

Для

Р?РР0 найдем обВее

решение

однородного уравнения' ( 3 .5 ) . Формальным решением еемеИотва

еди

нородных уравнений

служит ряд

Ьс-І

21 21 Сіе/С*) $ 3(*~ 2 .)

к.f - °

Здесь комплексные числа

суть полоса мероморфной функции	Z)	с кратностям!
г і і - - •» ^ к/ - * ■
и при кахдои іс функции	суть собственные и присое

диненные функции фредгодьмового оператора

Ъ С - к Ъ г и :НМ)-+Ні-у* СЮ-

Нетрудно видеть, что для принадлежности формального ране

ния

Uoі),гт(	= TZ	Т
	*-	)
пространству	Н з « Г к М - ,/ - СѴ		необходимо	и достаточно,
чтобы все коэффициенты		CKJ'OXJ	при членах	t 1 c~ * «.
	&	CcLt}°l~ )

обращались тождественно в нуль. Таким образом общее решение

уравнения ( 3 .5 ) , принадлежащее пространству		< А -
имеет	вид
и (■*, t) =
	V5?
	Л+.
^Ifcl	f €*•$[)FtLb)db-tT Z Ciu'C)tU	-Ъсі
	* /	t
	* /

Смотрите также файлы

Стражев, В. И. Оперативное управление предприятием, проблемы учета и анализа.pdf

Стрижевский, И. В. Хемотроника.pdf

Сыдыков, Ж. С. Гидрохимические классификации и графики.pdf

Сытник, В. С. Основы расчета и анализа точности геодезических измерений в строительстве.pdf

Теория и практика зональной дифференциации закупочных цен..pdf

Файл: Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие].pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно