Файл: Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие].pdf

с кратностями

лежащими в полосе

оі *

ßt £ /. oi х

I

а

остаточный

член

& И s

Г, іи .

Д о к а з а т е л ь с т в о

проводится

по плану, осуще­

ствленному в теоремах об асимптотическом разложении в главе П

и Ш. При этом

внутренняя

сумма как следует из результатов гл .І,

представляет собой собственные и присоединенные функции опера­

тора Соболева-Штурма-Лиувилля, Асимптотическое представление

этих функций вблизи граничных подмногообразий было получено

нами в § 2. Используя этот результат,

мы и получаем формулу

(4 6 .4 ).

5.

Задачи для уравнений

с переменными по

£

коэффициен­

тами. Пусть

Ъ С к ,

-

дифференциальный

оператор

порядка с гладкими коэффициентами и

g

C^fb

—

j ЪруC*<

-éj

'^ti) Ip-i

~ систега

граничных

операто­

ров

в количестве, указанном в' § I . Реализуем

"пару"

С 'Ь/ Ъ)

как

оператор

ф/ 2>)

: HSJ K* Сс )~* Ms-*,?/*

О п р е д е л е н и е

І І .4 .

Буден

говорить,

что

оператор

(4 7 .4 ) к в а з и э л л и п т и ч е н ,

если он является тако-

выы на каждом сечении

"£

Ьо цилиндра

С •

сти

многообразия

С \

^

С р

в окрестности,

содернащей точки

границы оператор^

Р

*

гипоэллиптичен

по переменным

ft) частично

и "касательным" к многообразию

.

Д о к а з а т е л ь с т в о

следует из частично гипо*-

эллиптичности семейства

и левой

почти

обратимости

(при

не особых

)

оператора (4 7 .4 ).

6 .

Мягкость

реализации.

Т е о р е м а

7 .4 .

Реализация (47.4) мягкая. Область

мягкости

есть множество

точек

(J!, d

(Р2-

> где

ѵимг

(1 р }- + J f

P

* -2 p . X f - i,

VA

X.

Таким ооразом,

область мягкости

для реализации

(47.4)

заполняет

полосу (48 .4)

за

исключением прямых

d -

d ec ;

.

/ /

,

/

/

7

і

о *

■'/

'

/

>

*ос.

'

Ѵ

/ /

•Ѵм

So

/

■ /

/

У

Доказательство,

Мягкость реализации по с*.

доказывается

вполне

аналогично с

соответствующей

теоремой из

гл .І.

Мягкость реализации

по S означает,

прежде

всего,

что

длі

всех

SG

Л [м -

число

грг

ничных операторов

>

постоянно. Но из

условия ( I I . 4) сле­

дует,

что

при каждом фиксированном

V график функции

2£ у (S)

имеет

вид

Таким образом, если

S

принадлежит интервалу (4 8 .4 ),

то для квазиэллиптичности

оператора С t)i В) необходимо задавать

одно и то же число граничных операторов.

Далее

из теоремы о частичности регулярности следует,

что

в пределах

интервала

(48.4)

реализация

мягкая, что в силу

дис­

кретности

множества

осооых

чисел оі

во всяком случае влечет

за собой мягкость реализации.