Файл: Стернин, Б. Ю. Квазиэллиптические уравнения в бесконечном цилиндре [учеб. пособие].pdf

п р и ч е м , как

нетрудно

увидеть,

если

функция

j-Oxt't) &Ис,і',0ц,^- J

то Fi frt

t )

С-Н s

*

-

,

"Эквива- I

лентная нормировка

пространства

Н s, fl", о»+

<*■-

~

следующая:

II flf s , f

»oi+.ot-

*

II Fi

II s . r ^ t

t

II Fill

s,

jr»d . .

Нике

мы будем

использовать пространства

И s,

у , <*.4 , j._

в случае,

когда одно

из чисел

сЦ,

ok-

обращается

в

бесконеч­

ность.

Пусть,

например,

ÖL+

некоторое

фиксированное

конечное

число. Тогда

пространства

Н s,

с переменным

могут

следующим образом

профильтрованы

;

^ S -^ < A 4 , ' OO =

А И S,

d. ,

веет пространств H s i j f i

<j.4|C>._

и снабжается топологией

проективного предела, а

пространство Н ь г ^ А + . ч - о о является

Объединением

поведения при

і

t o «

) , полученное яракторизацией простран­

ства распределений на оси по подпространству распределений,

сосредоточенных при t *

О-

Норма в этом

пространстве определяется следующим образом

( s > о ,

<- =

- у ' уеАОе-*:

Пространство

И S I if , <^4

состоит из

распределений,

сосредоточенных на

полуоси

U

с аналогичной нормой.

§ 3 . Квазиэллиптические дифференциальные выражения.

I .

Основные определения.

Пусть

X

-

гладкое компактное

К - мерное многообразие без

края и

С ~

Х * '^

- цилиндр.

Введем

в прямом произведении

координаты

Q t i t )

. Тогда любая

комплекснозначная функция f

на цилиндре

есть

функция коорди­

нат

{

Рассмотрим на цилиндра С

дифференциальное выражение

ß

порядка

. Выражение

1)

в каждой локальной системе коор­

динат (

І

)

является

многочленом от

переменных

( % г Ѵ - > эЛ у у >

У н

) а

<

)

о коэффициентами, определенными в системе

координат

( 3 t * . -

» 94 N

) .

Ниже мы

сформулируем точные

и м . Допуская некоторую вольность,

мы будем часто

записывать

дифференциальное

выражение

1 )

в виде

Т> «

Ъ С х , Ь /

Ѣ х Р / д Ь )

(19Л '

о £ * • і , 0 t } V ? k ) ■*=■

^

& Сг і"Ь> ЪЪх J P / t )

> - » *f

Дифференциальному выражению

мы сопоставим характеристический полином

■ i o h . - b ,

с помощью формальной замены

называется квааиэддиптнческим рода

,

если

в каждой точке

£эг °f■і.® )

уравнение

*ъ0

с * е Л

0 .

°

(2 0 ,І)

не имеет чисто мнимых корней

Т.® х а

)

при l f | ¥

0 , Е*бЧ (Ч *

З а м е ч а н и е І . І .

Приведенное

определение квааизл-

хиптичности может быть переформулировано в терминах оемѳйотв

эллиптических дифференциальных уравнений, в смысле Аграновича-

Вииика

[

2^ .

Для того,

чтобы установить связь

между втими двумя опреде­

лениями, мы рассмотрим некоторое (произвольное) сечение *1 - 'Ь«,

цилиндра

С

. Зафиксируем в произвольной

точке

коэффици­

енты оператора

*1 >

и сделаем формальную замену

н

1— » 4 ^ =

- з

( 2 і . I)

Тогда мы получим срмѳйство t ) C 5 ) e

операторов,

зависящих or

параметра

.

О п р е д е л е н и е

7 .1 . Мы будем

называть

семейство

ъ С ы

кваанедлиптическим,

если

существует

такое

положительное

число

^ 7 0

,

что оемѳйство

Ъ С ^ ),

полученное

ваменой

( 2 1 . 1 )

зллиптично в смысле Аграновича-Виишка

{ г Д

для

значений

,

расположенных на прямой J»w ^

' = 0 .

2 .

Примеры.

П р и м е р I. Э л л и п т и ч е с к и е

д и ф ф е ­

р е н ц и а л ь н ы е

в ы р а ж е н и я

(И.Г.Петровский).

Пусть Y~ і

• Тогда характеристический полином

выражения

3>

является

обычным однородным полиномом порядка

гл . Усло­

вие квазиэллиптичности означает тогда, что корни уравнения

(ID .I) в каждой точке

( t 0, х°

) не ЧИсто

мнимы. Это

означает,

что

при

$ ~ О

полином

* о

1У , - і ' т )

не

имеет

вещественных корней

т

при (^Ф’О,

Последнее требование и есть обычное

условие

эллиптичности.

П р и м е р 2.

П а р а б о л и ч е с к и е

д и ф ф е-

I

р е н ц и а л ь н ы е

в ы р а ж е н и я

(И.Г.Петровский).

уравнения ( 2 0 . 1 ;)

во

всей левой

полуплоскости

Я е і

< Q

показал И.Г.Петровский [ з ] число|(должно быть в этом

т&ң

лым

и четным

и. введенный класс

дифференциальных выраже­

ний в точности совпадать с АІ> -

парабоД^іескими

в смысле

И.Г.

Петровского.

П р и м е р

Э.

О б р а т н о

п а р

еиб

о л и ч е с- !

к и е

д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е

в ы р а ж е н и я .

Предположим теперь,

что все корни уравнения (ІР .І)

расположены*

в левой (открытой) полуплоскости, то-есть при

Rе ? ; о корней j.

уравнения ( 2 0 . 1 )

нет.

Это также

ХЪ -квазиэллиптическое

диффе­

ренциальное выражение,

которое

естественно назвать

Abобратно: