Файл: Козобков, А. А. Электрическое моделирование вибраций трубопроводов.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.10.2024
Просмотров: 109
Скачиваний: 0
второму ii первому приближению уравнения (24), моделируют его с некоторой погрешностью, вызываемой дискретизацией. Очевидно, что погрешность второго приближения меньше, чем погрешность первого приближения, так как второе приближение учитывает большее число членов ряда разложения (213) и (214).
Дискретизация прежде всего выразится в амплитудной и ча стотной погрешностях моделирования. Амплитудная погреш ность зависит от погрешности в воспроизведении волновой по
датливости при кручении |
У I/J^GJq, |
которую можно ввести для |
|||||||||
удобства |
анализа |
по |
аналогии |
с |
волновым |
сопротивлением |
|||||
] L0/C0 |
электрической линии с распределенными параметрами |
||||||||||
|
|
|
L0 и С0. Частотная |
погрешность |
моделирова |
||||||
|
|
|
ния |
определяется |
фазовой |
характеристикой |
|||||
|
|
|
электрической |
цепи, моделирующей |
крутиль |
||||||
|
|
|
ные колебания трубы. |
|
|
|
|||||
|
|
|
Определим амплитудную погрешность, ко |
||||||||
|
|
|
торую |
вызывает |
дискретизация |
уравнения |
|||||
Рис. |
46. |
Экви |
(24) |
по первому |
и второму |
приближениям, |
|||||
для |
чего сравним |
характеристические |
сопро |
||||||||
валентная схе |
тивления цепей, |
состоящих соответственно из |
|||||||||
ма |
согласован |
||||||||||
ного четырехпо |
звеньев |
первого |
и второго |
приближения, с |
|||||||
люсника |
волновой податливостью при кручении |
|
|||||||||
Пусть характеристическое сопротивление П-образных звеньев цепей первого приближения будет Z щ, второго приближения — Дго-
Из теории четырехполюсников [18] известно, что характери стическое сопротивление П-образного четырехполюсника (рис. 46) имеет вид
Zn= У Z,Z2 - - |
1 |
, |
(220). |
|
' |
1 2/ 2 |
+ Z2/Z, |
|
v ; |
где для звена цепи (см. рис. 1 0 |
) |
|
|
|
Дп = Дпь Z 1= jw 3Lk‘, |
Z2= |
2j |
——, |
|
а для звена цепи (см. рис. 45) |
|
|
|
о>эС к |
|
|
|
|
|
Z n= Znz; Z x= jm 3L\ |
Z2= |
—2j |
|
—co3 L'j • |
Частоты среза звеньев обоих типов найдем из условия резо нанса Z n-*-оо. Из уравнения (220) получим2
2 + ^ _ = 0 .
84
Тогда для звена (см. рис. 10) частота среза
2
ис1 '
У L k C k
а для одного звена цепи (см. рис. 45) |
частота среза |
||||||
|
юс 2 = ------- |
2 |
|
------ . |
|
||
|
|
|
|
||||
|
1/ |
LC |
|
Р |
|
|
|
|
Подставляя в уравнение |
(220) 'значения шС 1 |
и соС 2 для звеньев |
||||
обоих типов, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
Z m = л / |
Сit |
у |
1 |
• |
(2 2 1 ) |
|
|
V |
[ — I/® |
|
||||
|
|
|
|
т |
Ч |
^ |
|
|
Х Г |
L |
|
|
+ 4 |
(2 2 2 ) |
|
|
-П2 = |
|
с |
y |
i - v |
l |
|
|
V |
|
’ |
||||
где |
Уi = “э . |
у а = — |
|
• |
|
|
|
|
“cl |
|
шс2 |
|
|
|
|
Из уравнения (222) видно, что при р— >-оо или L'— И) выра жение для Zni вырождается в уравнение (221) для Zm. Анализ выражения (2 2 2 ) показывает, что, изменяя величину р, можно в значительной степени изменить вид функции Zm (yi)- Очевидно, амплитудная погрешность моделирования будет тем меньше, чем
меньше Zm будет отличаться от значения ]/ L/C. Это следует из того, что волновое сопротивление линии с распределенными
параметрами ]/Z 0 /C0 так же, |
как и волновая податливость У„ |
|||
от частоты не зависит. Амплитудную погрешность |
моделирова |
|||
ния будем искать в виде |
Zm — Z0 2 |
|
|
|
|
|
(223) |
||
где Z02= y L/C. |
|
-02 |
|
|
|
|
|
|
|
Обозначим погрешность |
|
|
|
|
8 z( +) |
при Zn2 ^>Z02, |
|
|
|
8 z(-) |
при Z m < Z 02 |
|
|
|
и будем считать, что Z т min = [l—6 |
Z(-)]Z02. |
|
|
|
Найдем значение р, при котором Zn2 удовлетворяет выраже |
||||
нию (223), т. е. такое значение р, при котором амплитудная |
по-, |
|||
грешность не превышала бы заданную. Для этого |
найдем |
зна |
||
чение р, при котором кривая Zn2 |
/Z0 2 касается прямой Zmmrn/Zo2 |
|||
(рис. 47), из условия |
|
|
|
|
Z П2ш1п |
Z |
I dZ] |
|
|
|
|
П2 |
|
(224) |
|
П2 dtt |
|
||
85
Р е ш а я у р а в н е н и е ( 2 2 4 ) , п о л у ч и м |
|
|
|
.4*- 10[l + ^ |
(- ) - 28| |
- 2 / 2 8 г(_ , - 8’ ] . |
(225) |
Теперь определим максимальное |
значение р, при котором 2 т |
||
•будет отличаться от 20 2 |
не более, |
чем на 6 Z(+)Z0 2 . Для этого, |
учи |
тывая указанное условие, запишем |
|
||
[ 1 ~Ь^( + )] Z 0i= Zf'2\!J-i)- |
(226) |
||
Решая уравнение (226), получим значение рабочей части по |
|||
лосы пропускания звена |
|
|
|
УъР= У ' |
[ - ^ ~ ( I + ?J^(+ ) ) 2 + |
|
|
^ “Ы ' 11+Sz( +) ) 4 — 4р( 1 |
—q){ 1-}-8 z( + ))"] , |
(227) |
|
где |
4 |
|
|
q= ----- - . |
|
||
/М -4
Таким образом, при любой заданной погрешности (223) мы можем определить параметры и рабочую часть полосы пропуска ния звена второго приближения из выражений (225) и (227).
Анализ выражения (225) показывает, что при р=1,58 полоса пропускания звена цепи (см. рис. 45) составит г/2р = 0,94 при вы полнении условия flz< 0 ,l, в то время как полоса пропускания звена модели первого приближения при том же условии соста вит всего лишь 0,42 (см. рис. 47).
Анализ показывает, что при одинаковой амплитудной погреш ности моделирования звеньев в модели второго приближения
окажется |
в два с лишним |
раза меньше, |
чем |
в модели |
первого. |
||||
|
|
|
Найдем |
частотную |
погреш |
||||
1т |
11=0 |
р=1,58 |
ность, вызываемую |
дискрети |
|||||
7-П |
L |
|
зацией, |
в функции |
числа раз |
||||
■ 1,5 |
|
биения для |
моделей |
первого и |
|||||
1 |
|
||||||||
1,4 |
|
|
второго |
приближения |
и срав |
||||
1,3 |
|
|
ним их между собой. Получен |
||||||
1,2 |
|
|
ные выражения |
для |
частотной |
||||
Мм=/,/ |
|
|
погрешности помогут решить и |
||||||
1 |
|
обратную задачу: определение |
|||||||
1,0 |
|
||||||||
у |
Уг |
числа |
звеньев |
при |
заданной |
||||
Н<-: = 0,9 |
|||||||||
|
|
погрешности |
моделирования. |
||||||
|
|
|
|||||||
0,7 0 |
0,5 |
1,0 |
Рис. 47. График зависимости харак теристического сопротивления для различных значений р
Для определения частотной погрешности запишем коэффи циент передачи согласованно го четырехполюсника (см.
рис. 46)
«6
k = |
1 |
|
(,228) |
|
Zj_ |
Zj |
|||
l + |
|
|||
Zn |
Z\ |
|
||
Подставляя в выражение |
(228) |
значение Z n из соотношения |
||
(2 2 0 ) и после некоторых преобразований получим |
|
|||
k — (1 — a)-f /( — } 2а — а2), |
(229) |
|||
где |
|
|
|
|
а = —Z2IZ|. |
|
|||
Из выражения (229) найдем фазу коэффициента передачи
2 а — а2
<Р= -a rc tg | ^ (-
(1 - е ) 2
или, после некоторых преобразований
со= — 2 arcsin ] / |
— |
|
V |
2 |
|
Раскрывая значение а, получим |
|
|
— для звена модели первого приближения |
|
|
cpi = — 2 arcsin уй |
(230) |
|
— для звена модели второго приближения |
|
|
ср2= —2аresin |
|
(231) |
Следовательно, учитывая выражение (230), получим модуль
фазовой |
характеристики четырехполюсника цепи (см. рис. |
1 0 ) |
|
|Ф1 1 = 2 arcsin г/,. |
(см. |
Очевидно, что полная фаза цепи, состоящей из п звеньев |
||
рис. 1 0 ), |
будет |
|
| ср, |п = 2п arcsin у\.
На s-той собственной частоте сои цепи, состоящей из /г звеньев первого приближения, полная фаза цепи, разомкнутой на конце, составит ns. Тогда
ns = 2n arcsin y ls, |
|
|
|
откуда |
|
|
|
COvi |
. Jl |
5 |
(232) |
Уи- — = |
sin --- |
n |
|
“ ci |
2 |
|
|
Из выражения (232) найдем значения собственных частот цепи, состоящей из п звеньев (см. рис. 1 0 ).
87
ns
~ъГ
соli
V LkC);
2
Известно [13], что спектр собственных частот крутильных колебаний трубы длиной 1 со свободным концом
ns |
1 |
— |
ns 1 / |
GJQ |
(233) |
/ |
|
Т Г |
2 пАх У |
М- |
|
|
г |
|
|||
V |
|
|
|
|
|
Тогда, учитывая, что элементу момента инерции массы AxJ у. со- ■ответствует емкость Ск, а податливости ЛxlGJQ соответствует индуктивность Lh, перепишем выражение (233)
(234)
2 п г LkCк
Погрешность по спектру собственных частот моделирующей цепи, состоящей из п звеньев (см. рис. 1 0 ), можно получить, под ставив выражение (234) в выражение для определения частот ной погрешности
|
|
ns |
|
< * \S |
1 |
2 п |
(235) |
= |
|
ns
Для нахождения частотной погрешности цепи (см. рис. 45) воспользуемся методом, предложенным в главе II § 4, т. е. пред положим, что s-тая форма колебаний системы, описываемой уравнением (217), совпадает с s-той известной формой системы, описываемой уравнением (24).
В соответствии с этим предположением получим
c?m = |
A ey'“«'cos — . |
(236) |
|
П |
|
Тогда |
|
|
?m+i= A e y'V Co s - ^ ( ,n + l ) ; |
(237) |
|
|
п |
|
«рт_1= Л |
e'V 'cos — ( т - 1 ) . |
(238) |
|
П |
|
После подстановки выражений (236) —(238) |
в уравнение |
|
(217) получим |
|
|
88