Файл: Козобков, А. А. Электрическое моделирование вибраций трубопроводов.pdf

Из теории дифференциальных уравнений известно, что спектр собственных частот системы, описываемой уравнением (239),. имеет вид

1

(240)

+ ■cos

ns

п

Сравнивая уравнения (217) и (218), мы получаем выраже­ ние, связывающее параметры р и |3:

после некоторых преобразований найдем погрешность по спек­ тру собственных частот моделирующей цепи (см. рис. 45), со­ стоящей из п звеньев

89

будет невысокой в широком диапазоне значений у2. В то же время кривая, соответствующая частотной погрешности звена модели первого приближения, уже начиная с половины полосы пропускания резко уходит вверх, т. е. частотная погрешность ста­ новится высокой.

Следовательно, при одной и той же погрешности моделиро­ вания можно найти такое р, а следовательно, так подобрать па­ раметры звена модели второго приближения, что число звеньев модели второго приближения окажется в два раза меньше числа звеньев модели первого приближения.

§ 9. ВЫБОР ЧИСЛА МОДЕЛИРУЮЩИХ ЗВЕНЬЕВ МОДЕЛИ К|РУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

Для выбора числа звеньев модели второго приближения за­ дадимся погрешностью моделирования по спектру собственных частот

Так как выбранное значение р не превышает 1,58, то амплитуд­ ная погрешность 6 z<-) не превысит 0 ,1 .

Найдем полосу пропускания одного звена модели второго приближения, подставляя условие (244) в выражение (227). После преобразований получим у2))= 0,8.

Таким образом мы видим, что при р = 2,75 частотная погреш­ ность и погрешность по характеристическому сопротивлению

Если высшая гармоническая составляющая возмущающего воздействия равна гсом, то по длине трубопровода уложится /"com/cojh полуволн, где coMi — первая собственная частота трубо-

90

провода при кручении, которую можно получить из выражения

(233)

откуда

Подставляя выражение (246) в соотношение (245), получим

________ 1 _______

« 1

(247)

/ i - у т ^ т ж ^

Количество звеньев модели второго приближения будет, как уже отмечалось, в два раза меньше числа звеньев модели пер­ вого приближения

щающего воздействия, то, задаваясь погрешностью моделирова­

Число разбиений так же, как и для модели изгибиых колеба­ ний, определяется по самому короткому прямому отрезку трубо­ проводной системы.

Таким образом, мы определили число звеньев модели исходя из заданной погрешности моделирования. Теперь найдем пара­ метры звеньев, моделирующих крутильные колебания трубопро­ вода, и найдем как они связаны с параметрами моделируемого трубопровода.

§ 10. МАСШТАБНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ, ИНДИКАТОРЫ И КРИТЕРИИ ПОДОБИЯ ДЛЯ МОДЕЛИ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИИ

Для нахождения соответствия между постоянными величи­ нами, входящими в уравнения (217) и (218), сравним эти урав­ нения. Тогда, учитывая, что при р—2,75 погрешность модели­ рования не превысит 0 ,1 , запишем искомую систему соответствий

GJ. GJ.

91

Для нахождения соответствия между переменными величи­ нами, входящими в соотношения (217) —(218), проделаем над этими уравнениями ряд операции.

Уменьшим индексы переменных величин, входящих в эти

уравнения, на 0,5 для того, чтобы величины 0 и ср, М и W отно­ сились к одним и тем же сечениям разбиения.

Продифференцируем уравнение (217) по t и введем в урав­ нения (217) и (218) правые части, что соответствует приложе­ нию к системе, описываемой уравнением (217), момента W в се­ чении т — 0,5 и источника тока г* к модели в точке т — 0,5 (рис. 49).

Рис. 49. Схема модели крутильных колебаний с источником тока

Тогда уравнения (217) и (218) примут вид

Сравнивая уравнения (250) и (251) между собой, установим систему соответствия между входящими в них переменными ве­ личинами

Учитывая, что в аргументы величии ср, |, W, i* входят круго­ вые частоты сом и соэ, дополним соотношения (252)

Для нахождения количественного соответствия между вели­ чинами, входящими в уравнения (250) и (251), исходя из при­ нятой системы соответствий (249), (252) и (253), введем мас­ штабные коэффициенты (см. табл. 5) и подставим их в уравне­ ние (250):

92