Файл: Козобков, А. А. Электрическое моделирование вибраций трубопроводов.pdf

т = 0; ± 1; ± 2 ;............... , если г — четно.

Заметим, что для формирования разности порядка г необходимо знать r+ 1 значение функции Ф.

Очевидно, что выбор того или иного метода интерполяции в конечном счете отразится на методической погрешности моде­

жаются значением функций Ф и ее производных в точках (хь t);

(^2, t) , . . . (Х„, t) .

От способа отыскания высшей производной зависит разност­ ная схема решения или интерполяционная формула.

Рассмотрим несколько интерполяционных формул, аппрокси­ мирующих волновое уравнение (23), которое описывает изгибные колебания прямого однородного участка трубопровода.

§ 1. ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ИЗГИБНЫХ КОЛЕБАНИЙ ТРЕХ ПОРЯДКОВ ПРИБЛИЖЕНИЯ

Для сокращения и удобства записи при дальнейшем анализе уравнений введем некоторые обозначения: оператор смещения Е для функции у(х) переменного х и приращения Дх:

где и — любое действительное число; разностные операторы

A*/ W = У0*■+ Д-Д— у (х),

Чу{х) = у(х) — у { х — ь х \

29

Тогда соотношения между операторами запишутся в виде

д = £ - 1 = £ v = £'0,58; у = 1 - £ “ 1 = Я _1Д= ^ _0,58;

ходимо найти разностное приближение этого уравнения. Вид приближения и его точность определяется способом отыскания высшей (в данном случае четвертой) производной интерполи­ руемой функции по пространственной координате. Найдем интер­ поляционные (разностные) формулы уравнения (23) различных порядков точности и сравним их между собой.

Выше отмечалось, что для составления разности порядка г не­

ностью до восьмого члена ряда. Ограничение тем или иным чис­ лом членов ряда разложения, или, как уже отмечалось, способ нахождения высшей производной по пространственной коорди­ нате, определит вид конечно-разностной, а следовательно, и элек­ трической схемы модели. Дальнейшее увеличение числа членов ряда разложения приведет к очень сложной схеме электрической модели, что нецелесообразно.

30

i =1

где D = —— оператор дифференцирования. dx

Для того чтобы выразить четвертую производную, сложим выражения (34) и (36), (35) и (37); после преобразований

.получим

Вычитая равенства (38) и (39), выразим четвертую произ­ водную

Перепишем выражение, входящее в систему соотношений для операторов (32) и умножая его на £-°'5г, получим

Г

Заметим, что сумма, стоящая в скобках в выражении (40), удов­ летворяет соотношению (41) при г=4. При этом выражение (40) 'будет иметь вид

Для получения интерполяционных формул необходимо выра­ зить производные шестого и восьмого порядка в уравнении (42) через производные порядка не ниже четвертого. Выразим сна­ чала производную шестого порядка. Для этого сложим выраже­ ния (34) и (36), сумму продифференцируем четырежды по х. Тогда с учетом выражения (41) получим

31