Файл: Вопросы технологии машиностроения и радиотехники [сборник статей]..pdf

рекомендации следует рассматривать не как указание, а как предложение к тем вариантам, которые уже существуют.

На рис. 3 изображена вертикальная проекция статуи, уста­ новленной на высоком постаменте, вертикальные следы К\ и Кг плоскостей, касательных к проекционной поверхности и проек­ ция точки зрения z.

Используем треугольник 088 для опрёделения размеров, ко­ торые следует придать статуе, чтобы она имела меньше искаже­ ний при рассматривании ее под большим углом зрения.

Сначала исправим части проекций статуи на вертикальном следе К до нормальных соотношений. Для этого из точки 1 про­ водим прямую, параллельную прямой 88, и на ней радиусом 81 засекаем точку 1. Деления 2 .........7 переносим циркулем на пря­ мую 18. Из каждого деления проводим прямую, параллельную направлению 88, до пересечения с прямой 18. Полученные меж­ ду делениями 1, 2 .......78 отрезки сохраняют соотношение ча­ стей, которые отмечены на центральной линии статуи слева. Из точки z проектируем точки 2 ...... 7 на центральную линию ста­ туи и получаем необходимые размеры частей статуи. После исп­

2. З м е т н ы й А. Я., Применение теории перспективы на наклонной плос­ кости к проектированию высотных монументальных скульптур, Труды ЛИСИ,

выпуск 36, Л., 1962.

СИДОРЕНКО С. М.

Изложены теоретические вопросы проведения ци­ линдрических поверхностей через две плоские кривые линии, расположенные в пространстве. Библиографий 2. Иллюстраций 7.

О ПАРАЛЛЕЛЬНЫХ ПРОЕКЦИЯХ ПЛОСКИХ ФИГУР НА ОДНУ ПЛОСКОСТЬ ПРОЕКЦИИ

“В инженерных задачах приходится соединять цилиндриче­ скими поверхностями контуры плоских фигур, находящихся в пространстве. В данной ст'атье рассмотрены некоторые вопро-

сы параллельного проецирования плоских фигур на одну плос­ кость проекций методом осевой симметрии, являющимся одним из частных случаев аффинного соответствия. В общем случае па­ раллельная проекция плоской фигуры имеет форму, родствен­ ную своему оригиналу. На основании свойств параллельного проецирования треугольник проецируется на плоскость проек­

ТЕОРЕМА 1. Двум симметричным параллельным проекци­ ям плоской фигуры на плоскости проекций ТЕ, соответствует в пространстве бесконечное число аналогичных плоских фигур, плоскости которых всегда проходят через ось симметрии So.

Доказательство. Пусть дана плоскость проекции Пь на ко­ торой находятся две симметричные параллельные проекции

A\BiCu А1 BiCi треугольника АВС и ось симметрии S0 (рис. 1). Реконструируем произвольную точку А по двум данным ее проекциям А\ и А\. Для этого проведем_из проекций А\ и А\

точки А произвольные прямые А\А и А\А, ■ пересекающиеся в точке А. Точка А и ось симметрии S0 образуют какую-то плос­ кость Д. Реконструируем точку Б^по двум направлениям, соот­

ветственно параллельным АХ и А\А. Для этого из проекций В\ и В1 точки В проведем прямые В\В и ВХВ-, BiB\\AiA\ B\B\\AiA.

Докажем, что полученная точка В пересечения проецирую­ щих прямых В\В и В\В будет принадлежать плоскости Л. Если рассмотреть плоскости ABBXAUABB{Ai и AiB^BiAu то можно

1BB\Bi является медианой. Поэтому, ось симметрии Sо пересе­ кается с прямой АВ в точке I и образует с ней плоскость Л, в ко­ торой и расположена точка А. Аналогичные рассуждения можно было бы провести с реконструированием точки С, которая также принадлежит плоскости Л. Таким образом, три точки.А, В, С, оп­ ределяющие фигуру треугольника АВС, принадлежат плоско­ сти Л, проходящей через ось симметрии S0. Так как точка А бы­ ла реконструирована произвольными пересекающимися проеци­

рующими прямыми А\А и АУ, то и точка А может занимать лю­ бое положение в пространстве. Следовательно, и плоскость Л, проходящая через точки А, В, С, и осьсимметрии S0, мойсет быть наклонена к плоскости проекций П\ под произвольным уг­ лом 04-360°.

Следовательно,_двум симметричным параллельным проекци­

ям А\В\С\ и AiBiCi треугольника АВС соответствуют в прост­ ранстве бесконечное число треугольников.

Теорема доказана для фигуры треугольника. Аналогично можно доказать эту теорему для любой плоской фигуры, разби­ вая ее или вписывая в нее треугольники.

ТЕОРЕМА 2. Произвольная плоская кривая линия может йметь на данной плоскости проекций бесконечное число пар своих параллельных проекций, симметрично расположенных от­ носительно линий пересечения плоскости кривой линии Л с пло­ скостью проекций П\.'

Доказательство теоремы будем вести способом родственного соответствия на примере параллельного проецирования, на пло­ скость проекций П\ эллипса A\B\CiDl, расположенного в плос-

кости Л. Пусть даны э л л и п с A\B\C\Di и ось родства 50, являю­ щаяся линией пересечения плоскостей П\ и Л (рис. 2). Способом

Рис. 3.

родственного соответствия построим по произвольному направ-

.лению родства 5 параллельную проекцию AiB^CyDy эллипса A\B\C\D\ на плоскости Пь находящейся в совмещённом положе­ нии с плоскостью А. Для этого на плоскости П\ выбираем про­

извольно параллельную проекцию Вi точки Вх эллипса по, на­ правлению родства 5 и строим сопряженные диаметры AiBx и и C\Di проекции эллипса A^B^O^Di на плоскостй П\. Параллель­ ная проекция A\BiCiDi эллипса AyBiCiDi на плоскости Пi бу-

-дет родственно соответствовать своему оригиналу А ф ^ С ^ Р х . По теореме 1 эллипсу A\B\C\Dx соответствуют две его параллель­ ные проекции, симметричные относительно оси_'родства S0. По­

этому, строим сопряженные диаметры А у В у _и С ф х второй про­ екции эллипса ДВ^/Д ^имметричной AyBxC\Dx относительно

оси родства S0. Линия В \ В \ указывает второе направление род­ ства Si между эллипсом AxB\C\D\ и его второй проекцией на плоскости П у при совмещенном положении плоскостей П х и А. Задавшись построенными направлениями родства S и S] и уг­ лом между плоскостями П у и А, можно графически определить два направления параллельного проецирования_длш получения

плоскости проекций П) можно получить бесконечное число пар

Если расположение проекций Si точки Si эллипса при дан­ ном направлении родства S выбирать таким образом,_чтобы_оси

AiS i_h C1S 1 эллипса A 1S 1C1D1 и их проекций,A]Si и C y D y , А у В у и C y D y располагались на главных_направлениях_плоскостей П у и А, то сопряженные диаметры A 1S 1, CiDb А 1В1, C y D y будут осями эллипса. На рис. 3 главные направления плоскостей П у и А построены при; помощи окружности, описанной около прямо­ угольного треугольника 1 В у 2 . Из прямоугольных треугольников 253 и 243 можно вывести следующие зависимости для осей эл­ липса _ A y B y C y D y и его параллельных проекций AiSiCiSb A y B y C y D y на плоскости проекций П у :

cos а

^sinос

Величину угла между направлениями родства_5 и Si можно определить из суммы углов четырехугольников I B y B y B y вписан­ ного в окружность с диаметром 12.

Поэтому,_напр_авление родства Si для второй параллельной про­

екции AiBiCi-Di эллипса составляет с направлением родстйа S угол, равный (180° — 2 р).

Т Е О Р Е М А 3 . При параллельном проецировании эллипс мо­ жет спроецироваться на плоскость проекций в виде двух равных окружностей, симметрично расположенных относительно линий

85

пересечения плоскости проекций с плоскостью эллипса. При этом размер диаметра окружности может изменяться от малой до большой оси эллипса.

Доказательство. Пусть дан эллипс AlBlCiDi, расположен­ ный в плоскости Л, ось родства 5 0 и требуется построить парал­ лельные проекции эллипса в виде окружности на плоскости П\ (рис. 4). Решение данной задачи ведем в совмещенном положе­ нии плоскостей III и А. Эллипс AiB\CiD\ будет' преобразован

в окружность, если ось A\Bi эллипса i4iBiCiDi и диаметр AiBi окружности будут лежать на главных направлениях плоскостей Л и Пи а углу AiBiDi эллипса будет соответствовать угол

AiBiDi окружности, равный 45°. Определяем направление род­

ства В\В\ эллипса и окружности. Для этого строим точку В\ как точку пересечения окружности с диаметром AJ и луча 23. Ок-

86

ружность с диаметром АХ1 является геометрическим местом точ­

ки В\, родственной точке Bi, Причем, точки Вх и Вх плоскостей Я1 и Л должны лежать на главных направлениях этих плоско­ стей. Луч 23 является стороной вписанного угла АХВХ3, опираю­ щегося на дугу Л1З и равного 45°. Кроме этого, угол АХВХ3 соот­ ветствует углу AXBXDXэллипса_ AxBxCiDx. Построив точку Вх можно определить диаметр АХВХокружности с центром Ох, род­

ственной эллипсу A XBXCXDX. В зависимости от угла а наклона осей АХВХэллипса AXBXCXDXк оси родства S0 диаметр окружно­ сти, родственней эллипсу будет равен:

А\В, — АхВу •cos р cos а

87

Диаметр окружности родственной эллипсу при данном угле а не зависит от угла Ч* наклона плоскостей Л и П\. Расстояние

центра Oi окружности, родственной эллипсу, от оси родства 5 0 при данном угле а равно:

и не зависит от угла между плоскостями Л и П\ в пространстве. Геометрическимместом центров 0\ окружностей, родственных

88

эллипсу, при изменении угла между плоскостями Л и Пi являет­

ся окружность с радиусом, равным Ох4, плоскость которой пер­ пендикулярна оси родства SQ. Поэтому, данному эллипсу и оси родства So будет соответствовать две окружности в плоскости Пи проходящей через ось родства S0 (рис. 5 и 6).

Из трех изложенных теорем вы.тек'ают следствия:

Следствие 1. Линия пересечения плоскости данной фигуры с плоскостью проекций является осью симметрии равных проек­ ций плоской фогуры.

Следствие 2. Геометрическим местом окружностей данного диаметра, родственных заданному эллипсу, является поверх­ ность кругового кольца с осью, совпадающей с осью родства

(рис. 7).

Следствие 3. Ебли совмещенные плоские сечения родствен-' ны, то контуры этих сечений можно соединить цилиндрической поверхностью.

Следствие 4. Две плоские кривые можно соединить цилинд-

89