Файл: Власов, А. Г. Методы расчета эмиссионных электронно-оптических систем.pdf

Таким образом, управление потоком осуществляется подбо­

ром поверхностных зарядов, минимизирующих функцию Т пт( \ характеризующую суммарное отклонение от заданных по направ­ лению скоростей в момент времени t + т At. Тем же методом можно вместо поверхностной плотности зарядов подобрать рас­ пределение потенциала на некоторой поверхности, формирующее заданную форму потока.

Однако общая задача поиска нелокального минимума функцио­ нала (390) при большом числе независимых параметров очень сложна. Поэтому целесообразно рассмотреть некоторые частные возможности ее численного решения. При малом числе «больших частиц» (в предельном случае одна частица) достаточно найти такое же количество свободных параметров \ к, чтобы вывести частицы на заданные траектории на первых шагах интегрирования уравнений движения. На этом этапе задача не представляет значительных трудностей. Пусть в момент времени t — tk найдена

система зарядов (і = 1, 2, . . ., k —• 1), которая минимизи­ рует энергию Т пк{ ~1), определяемую формулой (393). Найдем

систему зарядов, минимизирующую Т {к).

Достаточное для этого условие (выполняющее и более сильное требование, чтобы движение каждой частицы происходило по за­ данной траектории) записывается следующим очевидным образом:

Обозначив все члены, не зависящие от искомых величин ДН£ через ßm и введя обозначение

q A t

перепишем условие (394) как систему алгебраических уравнений

Решая подобную систему на каждом шаге интегрирования уравнений движения при соответствующем возрастании числа

1 5 2

частиц, можно поверхностные заряды, формирующие поток задан­ ной формы, определить как функцию времени.

При большом числе частиц система (395) может оказаться неустойчивой, в связи с чем требование (394), как и раньше, целесообразно выполнять, минимизируя среднее квадратичное отклонение от нуля, чтобы число зарядов было меньше числа частиц.

От предыдущего этот метод отличается тем, что позволяет выбирать оптимальную функцию осуществляя локальный поиск малых приращений Д£г вблизи минимума, уже найденного ранее.

Таким образом, данный метод является линеализацией более общего метода нелокального поиска, изложенного в начале пара­

666

ЗАКЛЮ ЧЕНИЕ

Нами рассмотрены методы расчета эмиссионных систем в клас­ сическом и в нерелятивистском приближении, а также при сравни­ тельно малых плотностях тока в пучке. Хотя эти методы предна­ значены для инженерных расчетов электромагнитных линз и для теоретического исследования их свойств, имеющего чисто приклад­ ной характер, мы во всех случаях, когда это удавалось, пытались строго формулировать математическую постановку задачи расчета. Ценность такой постановки состоит в том, что она позволяет опре­ делять границы применимости метода и точно очерчивает возмож­ ности его использования.

То обстоятельство, что рассмотрение вопроса велось в рамках нерелятивистского приближения электродинамики и классиче­ ской механики, оправдано сравнительно малыми скоростями и плотностями частиц, небольшой разрешающей силой приборов, а также ограниченностью нашей задачи — мы не рассматривали переходные физические процессы, связанные с эмиссией электро­ нов и поглощением их в веществе экрана. Иными словами, мы оста­ новились только на методах технического расчета линз и не иссле­ довали физические процессы преобразования изображения. Не рас­ сматривались также вопросы, связанные с флюктуациями элек­ тронного потока, а следовательно, и с «шумами», возникающими при приеме изображения. Вся эта группа вопросов имеет большое

Рассмотрены главным образом оптические свойства эмиссион­ ных систем. Из изложенного материала ясно, что при исследова­ нии этих свойств требуются наиболее точные методы. Таким обра­ зом, использованный при изложении материала подход обосновы­ вается достаточным количеством специфических и малоисследо­ ванных трудностей, возникающих уже на стадии инженерного расчета эмиссионных систем. Рассмотренные общие методы допу­ скают многочисленные конкретные приложения, хотя они и тре­ буют большой технической работы, связанной с конкретизацией

154

ДОКАЗАТЕЛЬСТВОТЕОРЕМЫГЛАВЫI П Р И Л О Ж Е Н И Е 1

Теорема. Пусть G — ограниченная, вообще говоря, многосвязная область в пространстве Rs, с границей, состоящей из конечного числа простых поверх­ ностей Жордана. _

Тогда любую функцию U, гармоническую в G и непрерывную в G, можно аппроксимировать в метрике С (G) функциями Un (п = 1, 2, 3, . . .), гармони­

ческими в G, так чтобы:

1)G =э G;

2)всякая компонента связности CG содержала внутреннюю точку;

3)всякая компонента связности CG содержала какую-либо компоненту

156

Таким образом

В силу непрерывной зависимости функции ф* от параметра последнее не­ равенство будет иметь место для всех х' из некоторой окрестности точки х. Та­ ким образом, для любого х £ К существует его окрестность Ѵх — такая, что неравенство (397) верно для всех х' £ Ѵх с некоторыми Nxx. Эти окрестности образуют открытое покрытие компакта К ■Выделив из него конечное подподкры-

тие ѴХ1, ѴХ2, . . ., Ѵхп и взяв Nx = max (NX1X, . . ., Nxkx), получим

157

Продолжая данный процесс, мы на т-ы. шаге получим искомые точки Ij, g2, ■■-,%п и числа qlt q%, . . ., q,v, для которых справедливы неравенства (398) и (399). Лемма доказана.

Приступим к доказательству теоремы.

Возьмем функцию U, гармоническую в G и непрерывную в G, и произволь­ ное е > 0.

Рассмотрим произвольное непрерывное продолжение функции U на все пространство R3.

Введем последовательность областей

Gn= X

X (Д B3-, р (X, О) <

и последовательность функций Un, являющихся решениями задач Дирихле

для областей Gn с граничными условиями /„ — U JâG .

Ссылка на неравенства (396), (397) и (399) завершает доказательство тео­ ремы.

Замечание 1. Если А = ÖG П dG Ф Л, то на Un можно наложить условие

Un ІА = U [д .

Замечание 2. При решении осесимметричной задачи Дирихле можно в слу­ чае осесимметричности G потребовать и осесимметричности Un.

158