Файл: Власов, А. Г. Методы расчета эмиссионных электронно-оптических систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.10.2024
Просмотров: 81
Скачиваний: 0
Представим решение задачи (3) так: |
|
|
|||
|
UN {r, |
= |
AnVn (r, |
О), |
(46) |
|
|
|
п=О |
|
|
где Vn (r, ft) — функции, |
гармонические |
в области |
G; G zd D; |
||
К — числовой |
параметр, |
0 < Л < 1 . |
|
|
|
Будем искать Ап в виде коэффициентов в разложении некоторой |
|||||
функции f (t) |
в ряд Фурье по полной на [0, |
л ] ортонормированной |
|||
системе функций {ср„ (0} |
|
|
|
|
|
|
|
оо |
|
|
|
|
f ( t ) = Іі |
An4>n(t)dt- |
|
(47) |
|
|
|
rt=0 |
|
|
|
|
|
я |
|
|
|
|
An = \ f ( t ) y n(t)dt\ |
|
(48) |
||
|
|
о |
|
|
|
Подставив (48) в (46) и изменив порядок интегрирования и сумми рования, получаем
|
|
я |
{ |
N |
|
|
U N (r, |
f t ) = |
k \ f ( t ) |
2 |
Фд ( t ) V n ( r , ft) |
|
|
|
|
6 |
U=o |
|
|
|
Обозначив |
|
|
|
|
|
|
Un (г, ft) |r=p(#) |
= |
UN (ft); Vn (r, ft) [r=p(#) = vn (ft), |
(50) |
|||
запишем, следуя |
(49) |
и |
(50), |
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
uN(ft) = X J f (t) |
2 |
фп(0 ѵѣ(ft)\di. |
(51) |
|||
|
|
|
|
п= 0 |
|
|
Введем |
|
|
|
|
|
|
UN (ft) = |
UN (ft) + |
ф (0) —у S АтЧ>т, |
(52) |
|||
|
|
|
|
|
т=0 |
|
где у — числовой |
параметр (у > |
0), и потребуем, чтобы |
для |
|||
UN (ft) выполнялись граничные |
условия (45) |
|
||||
|
|
uN(ft) = |
F (ft). |
(53) |
||
Если условие (53) выполняется сколь угодно точно, то оценку допускаемой в решении абсолютной погрешности AU можно выра зить как
|
||Д£/|*=£|1 — 7 | ІІФ + |
уЦ бфіѵЦ, |
(54) |
|
со |
|
|
где öcpN = |
An(pn(t); при этом || ф || |
и || 6ф^ || для |
наилуч- |
rc=/V+ 1
шего приближения к точному решению должны быть взяты в мет
27
рике C(S). В дальнейшем эта метрика всюду подразумевается, и ее написание опускается. Из (53) и (51) следует уравнение
я |
ЛГ |
|
Ф (ft) + Я j /С (ft, t) f (t) etë = |
F (ft) + у 2 j ЛтФт(*). |
(55) |
0 |
m= 0 |
|
где
m |
t)= s 4>»(0t>«(ft). |
|
n— 0 |
Решение уравнения (55) построим так:
N
<P(ft) = Ф(#) + Ѵ S АпФтО*)-
m = 0
Тогда ф и соответственно удовлетворяют уравнениям
л
Ф (ft) + к I К (ft, о ф (/) dt = F (ft);
О
л
(56)
(57)
(58)
Фт (ft) + |
Ь I К (ft, 0 Фт (О Л = фт (ft). |
(59) |
|
о |
|
Уравнения (58) и |
(59) — интегральные уравнения |
Фред |
гольма второго рода относительно ф (t) и фт (t). Их решения в яв
ном виде можно записать так |
[47]: |
|
|
||
|
|
со |
JT |
|
|
ф(^) = |
^ (ft)+ |
£ |
АЛ f Kk{®, s)F(s)ds\ |
|
|
|
|
kZ \ |
\ |
|
(60) |
Фт (ft) = |
Фт(ft) + |
2 |
Xk I Xk (# - S) |
(S)ds, |
|
|
|
k = \ |
0 |
|
|
где для повторных |
ядер Kk (ft, |
s) справедливо: |
|
||
|
|
Л |
|
|
|
* É(ft, s) = |
f**-i (ft, h)K(tu |
s)dtv |
(61) |
||
|
0 |
|
|
|
|
Подставив решение (57) в выражение (48) для коэффициентов, |
|||||
получаем определяющую |
их систему уравнений |
|
|||
|
м |
|
|
|
|
Ап = К + У 5j |
“ тИт> П — Ъ, 1, |
.... N, |
(62) |
||
|
т=О |
|
|
|
|
28
где |
|
атп = ЯJ фт (t) ф„ (t) dt. |
|
|
К = Jзт Ф (0 Фя (0 dt; |
(63) |
|||
о |
|
|
о |
|
Оценка погрешности. Оценим |
бсрд, в выражении |
(54) |
||
|
|
СО |
шах | Апц>п |, |
|
шах I |
бфдг I ^ |
£ |
|
|
|
n=JV+l___ |
|
||
причем для A n (n > N ) |
при ф„ == ]/2/я cos nt получается оценка |
|||
где С — постоянная; а > 2.
Подбором N и у в формуле (54) можно удовлетворить условие
у||бфлг||<е/2.
Вообще говоря, выполнение условия регулярности системы (62) обеспечивается при любых у < 1 выбором X. Но вместе с тем ухуд шаются оценки для коэффициентов Ak, а следовательно, увели чивается у II Фдг 1с. в результате чего может потребоваться уве личение N. Оптимальные значения X, у и N при решении задачи (3) определяются видом ядра К (б, t) и граничными условиями F (б-) и поддаются оценке путем вычисления соответствующих констант. В случае, если система (62) не вполне регулярна, ее численное решение выполнимо методами регуляризации, рассмот ренными выше.
Описание схемы построения этого алгоритма дополним указа нием на то, что осуществленные в этом параграфе преобразования, начиная с формулы (52), приближенно свели полученное инте гральное уравнение первого рода (51) к интегральному уравнению Фредгольма второго рода, что повысило устойчивость получен ного решения. Описанные алгоритмы позволяют внутри области D с заданными граничными условиями приближать поле функциями, гармоническими в области G. Аналогично составляют алгоритмы для определения поля, внешнего по отношению к области D. Ре
шение получают в виде (46), где функции Ѵп (г, |
б) — гармоничес |
|
кие вне некоторой канонической области |
D' — такой |
что |
D' c =D . |
|
|
В уравнении (55) и в системе (62), к решению которых по су |
||
ществу сводится задача (3), содержатся два параметра Я, и у, |
выбор |
|
которых позволяет, как это было показано, регуляризовать про цесс решения. При выборе оптимального значения единствен ного параметра регуляризации а в уравнении (40) или в других уравнениях того же типа значение 1/а может оказаться близким к собственному числу оператора. В этом случае невязка уравне ния, по которой выбирается а, имеет добавочные максимумы, что затрудняет выбор оптимального а. Введение второго параметра ре гуляризации позволяет избежать этой трудности.
29
Заметим, что фактически решалось интегральное уравнение Фредгольма первого рода с непрерывным ядром — уравнение (51). Для регуляризации его решения и служит разработанный алго ритм. Он может быть применен для приближенного решения про извольных уравнений первого рода, записываемых в форме (51).
В процессе реализации данного алгоритма, а также в некоторых задачах вычисления потенциала, которые встретятся в дальней шем, приходится вычислять интегралы, содержащие быстро ос циллирующие тригонометрические и бесселевы функции. Вычи сление таких интегралов — процесс сам по себе нерегулярный, и хотя надежные алгоритмы его регуляризации частично изве стны [61], он заслуживает специального рассмотрения, которое и проведено в приложении 4.
Г Л А В А II
МЕТОДЫ РАСЧЕТА ПОЛЯ В ОБЛАСТЯХ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
§ 3. Метод переопределенных рядов
Если граница многосвязной области, потенциал в которой тре буется определить, принадлежит координатным поверхностям не которой ортогональной координатной системы, где переменные
уравнения |
Лапласа~ |
разделяются, |
то |
краевая задача решается |
|||||||||||||
в замкнутом |
виде. |
При |
этом це |
|
<5#_____ |
Sj |
|
||||||||||
лесообразно для |
построения |
при |
|
|
|||||||||||||
|
S,______ |
CI |
S* |
||||||||||||||
ближенных |
гармонических |
реше |
|
||||||||||||||
ний использовать метод переопре |
|
N |
|
||||||||||||||
деленных рядов |
[13]— одну |
из |
|
1 1 |
s? |
||||||||||||
|
S?t |
||||||||||||||||
разновидностей |
|
метода |
сшивания ^ |
|
|
||||||||||||
частичных решений (см., напри |
|
s; |
|
S5 |
|||||||||||||
мер, |
[73, 37]). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Пусть |
решается |
|
задача |
(3), |
|
|
|
|
||||||||
причем |
р |
£ |
й |
|
£ Ri', |
S = |
S x |
U |
' |
S7 |
Sg |
|
|||||
U |
5 2 |
U . . . |
U |
|
SN. |
|
Поверхности |
Рис. 6. Пример области |
в задачах |
||||||||
S; |
(( |
= |
1, |
2, |
3, . . ., |
N) |
совпа |
|
на сшивание |
|
|||||||
дают с координатными, уравне |
|
|
|
|
|||||||||||||
ния которых |
qk == С(. {k = |
1, |
2, 3, |
|
/), где qk— координаты |
||||||||||||
ортогональной |
системы, |
а |
I — размерность пространства. |
||||||||||||||
|
Рассмотрим сначала конечные области Й. Продолжив поверх |
||||||||||||||||
ности S; до пересечения с S, разделим всю область |
й |
на части |
|||||||||||||||
Й; |
(і |
= |
1, |
2, |
3, |
. . ., |
Nj). |
Обозначим |
продолжение |
S/ |
через S) |
||||||
(рис. 6). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
В каждой из подобластей й (- |
переменные в уравнении Лапласа |
|||||||||||||||
разделяются. При этом уравнение Лапласа сводится для каждой й- к системе одномерных самосопряженных уравнений второго порядка [30]
( Ш ік) (qk) = l ihUik (qk), k = 1 |
, 2 |
, 3 |
(65) |
где Xik — постоянная разделения.
Решение уравнения Лапласа в й (. — Ut (qx, q2, ■■■, Яі) имеет вид
I СО I
= Е S |
aZ П Uik (Km, qk) + Qip, |
(66) |
m= 1n= 1 |
fc=l |
|
31