Файл: Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.pdf

в теорию '< оптимизации

вгильбёртовом

пространстве

f

Глава 1

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ

Настоящая глава представляет собой сжатое изло­ жение свойств гильбертовых пространств, играющих, с нашей точки зрения, центральную роль в теории оп­ тимизации. Более подробно этот же материал освещен во многих книгах, в частности в тех, которые указаны в списке литературы. Некоторые из приведенных резуль­ татов разбросаны по научным журналам. Большинство иллюстративных примеров заимствовано либо из теории связи, либо из теории управления.

Для полноты картины, а также для того, чтобы избежать неясностей с используемой терминологией, мы определяем большинство (если не все) упоминае­ мых понятий. Предполагается, что читатель имеет хотя бы первое представление о таких фундаментальных вещах, как линейное пространство и т. п., например, на уровне курса современного анализа или теории функций вещественной переменной. Это нужно потому, что голые определения основных понятий, которые можно найти здесь, необходимы, но не достаточны для глубо­ кого понимания принципов их использования.

О п р е д е л е н и е 1.1. Линейным пространством на­ зывается непустое множество А, на котором определены две операции — сложение (обозначается символом + )

иумножение на скаляры (•). Сложение коммутативно

иассоциативно, так что А — коммутативная группа относительно сложения. Скаляры, для которых опре­ делено умножение, могут принадлежать либо полю комплексных чисел, и в этом случае говорят о комп­ лексном линейном пространстве, либо полю вещест­ венных чисел, что соответствует случаю вещественного линейного пространства. Умножение ассоциативно и дистрибутивно как относительно операции + , так и относительно естественной операции сложения на поле скаляров.

с линейными пространствами функций, и поэтому все упомянутые операции будут естественными. Для боль­ шинства целей нам достаточно будет рассматривать лишь вещественные функции, и тогда используемые линейные пространства будут также вещественными. А так как обобщение на случай комплексных функций часто не представляет никакой проблемы, мы не будем особо беспокоиться о том, комплексно или вещественно рассматриваемое линейное пространство. Единственное исключение, как мы увидим, составляет теория анали­ тических функций. Заметим, что если ограничить мно­ жество возможных скалярных множителей веществен­ ными числами, то комплексное линейное пространство перейдет в вещественное. Получившееся в результате пространство иногда называют вещественным сужением

вается линейно зависимым, если нуль можно предста­ вить в виде такой конечной линейной комбинации его элементов, что не все ее коэффициенты равны 0. В про­ тивном случае это множество называется линейно не­ зависимым.

О п р е д е л е н и е 1.3. Линейным подпространством

или просто подпространством линейного пространства называется его подмножество, которое само является линейным пространством относительно тех же опе­ раций.

Теперь можно перейти к определениям понятий, бо­ лее близких к нашим целям.

О п р е д е л е н и е 1.4. Скалярным произведением на линейном пространстве называется билинейная функция (функционал), принимающая значения из поля скаляров и такая, что для любых двух элементов х, у скалярное произведение (мы будем обозначать его [х, у]) удовле­ творяет условиям

(і) [х, у\ при фиксированном у линейно по х;

На каждом линейном пространстве можно опреде­ лить скалярное произведение, воспользовавшись бази­

П р и м е р 1.1. В линейном пространстве непрерыв­ ных функций, определенных на конечном отрезке [а, fr] (это пространство обычно обозначают через С (а, Ь)), можно задать скалярное произведение формулой

Может ли он служить скалярным произведением? Указание. Этот функционал можно представить в виде

f(x) = 0 тогда и только тогда, когда х = 0, f(ax) = \a\f(x),

f (х + У) ^ / (х) + f (у) (неравенство треугольника).

О п р е д е л е н и е 1.6. Пространством со скалярным произведением (или предгильбертовым пространством)