Файл: Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 24.10.2024

Просмотров: 85

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

16

 

 

Глава

I

 

для

которой

IIX — у II ^ге > 0,

существует такое

число

б >

0,

зависящее лишь от е, что

 

Из

закона

(1.2) ясно, что

единичный шар в

Н рав­

номерно выпуклый. Многие из свойств гильбертовых пространств'(например, теорема 1.1) справедливы и для более общих банаховых пространств с равномерно вы­ пуклыми единичными шарами. (По этому поводу см., например, [8].)

Сформулируем еще один результат, на первый взгляд

более общий,

но, во

всяком случае, более

близкий

к тому, что требуется для практики.

 

С л е д с т в и е

1.1.

Пусть С — замкнутое

выпуклое

множество в Н. Для любого элемента х из Н найдется единственный элемент из С, ближайший к х. Другимя

словами, существует единственный элемент z е

С, для

которого

 

 

 

 

\\х — Z 1= inf IIX — у II,

//<=С.

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Для

доказательства

доста­

точно заметить, что множество

х — С (состоящее из

всевозможных элементов

вида

х — у, где у е С) замк­

нуто и выпукло.

 

 

 

 

Мы доказали существование и единственность ре­ шения нашей задачи оптимизации, но это доказатель­ ство не конструктивно. В нем нет указания, как найти искомое единственное решение. Поэтому нам понадо­ бится другая характеризация этого элемента.

Т е о р е м а 1.2. Пусть С — замкнутое выпуклое мно­

жество в Н. Для любого г е Я элемент z

является

единственным элементом из

С, ближайшим {по норме)

к X, тогда и только тогда, когда

 

 

Re[.v — z, z — y ] ^ 0

для всех і/е С .

 

(1.5)

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Любая характеризация

мини­

мизирующего элемента

типа

сформулированной

в тео­

реме должна базироваться

на вариационных

сообра­

Основные свойства гильбертовых пространств

17

жениях. Поэтому предположим, что z и есть тот един­ ственный ближайший к X элемент множества С, существование которого гарантировано следствием 1.1. Тогда, поскольку С выпукло, для любого Ѳ, О ^ Ѳ ^ І ,

(1 — 0 ) z + Ѳг/еС, если

у (= С.

 

Далее, функция

 

 

I U - ( ( l - 0 ) Z+0y)| p =

g(0)

(1.6)

дважды непрерывно дифференцируема по Ѳ (в самом

деле, это квадратичная функция от Ѳ). Более того,

g '(Ѳ) =

2 Re [л: — By — (1 — 0)z,

z — y),

(1.7)

g"(Q) =

2 R e [ z - y , г - у ] .

 

(1.8)

Ясно, что для того, чтобы элемент z

был минимизи­

рующим, требуется, чтобы g ' {0 )^ 0 , а это и есть усло­

вие (1.5). Итак, необходимость условия

(1.5) доказана.

К счастью, нетрудно видеть, что оно и достаточно.

Действительно, предположим, что условие (1.5) вы­

полняется для некоторого

элемента

z е С. Построим

g(0), как и выше. Согласно

(1.5), функция g'(0) неот­

рицательна, а согласно (1.8),

неотрицательна

и g" (Ѳ).

Поэтому g ( 0 ) ^ g ( l) при

всех у ^ С ,

откуда

следует,-

что z — минимизирующий

элемент в

С. Выше было

показано, что такой элемент должен

быть единствен­

ным.

 

 

 

 

Может оказаться полезной геометрическая интерпре­ тация неравенства (1.5). Рассмотрим множество эле­ ментов h из Я, для которых

Re [х — z, h] — c = Re [х — z, z\.

Они образуют гиперплоскость, проходящую через точку г. Эта гиперплоскость (с нормалью х — z) является опорной плоскостью выпуклого множества С в том смысле, что

Re [х — z,

z] =

с,

г е С ,

(1.9)

Re [х — z,

у] ^

с при всех

і/е С .

'■ (1.10)

При этом точка z служит опорной точкой, а введенные понятия обобщают представления, обычные для конечно-- мерных гильбертовых пространств..........-........... —

Гос. публичная

научно-тѳхничесгйя

библиотека СС GP

гіІЗЕМП.ПГ.Р

IS

Глава 1

О п р е д е л е н и е 1.12. Для любого замкнутого вы­ пуклого множества С, содержащегося в Я, можно определить отображение из Я в Я, ставя в соответ­ ствие каждому элементу х из Я ближайший к нему элемент из С, называемый проекцией элемента х на С. Такое отображение мы будем обозначать через Р{-), оно не обязательно линейно, но, как будет показано ниже, непрерывно.

О п р е д е л е н и е

1.13. Конусом называется

множе­

ство,

содержащее

вместе

с любым элементом х эле­

менты

вида

tx, где t ^ 0.

Выпуклым конусом

назы­

вается конус,

являющийся

выпуклым множеством. За­

метим, что для того, чтобы множество С было выпуклым конусом, достаточно, чтобы вместе с любыми его эле­

ментами хи х2 ему принадлежали

элементы

txx{+ t2x2,

t\, t2^ 0 -

 

 

 

 

Если С — замкнутый выпуклый

конус, условие (1.5)

можно уточнить.

 

 

 

 

С л е д с т в и е 1.2. Пусть С — замкнутый

выпуклый

конус. Обозначим через z проекцию

элемента х на С.

Тогда

г /К 0 для всех

у ^ С ,

 

Re [x — z,

 

Re [я — z,

z] = 0.

 

 

 

Обратно, если какой-то элемент z ^ C удовлетворяет этим двум условиям, то он является проекцией эле­ мента X на С.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Докажем сначала необходи­ мость. Заметим, что поскольку z принадлежит С, то tz

для любого t ^ O

также

принадлежит

С. Подставив

y = tz в неравенство (1.5),

получим

 

 

(1 — t) Re [х — z,

z] ^ 0

для всех

0,

а так как число

1 — t

может

быть

и положительным,

и отрицательным,

то Re[x — z, z] =

0.

Учитывая это

равенство, находим из неравенства (1.5), что

Re[х — Z, у) ^

0

для всех

у е С .

Основные свойства гильбертовых пространств

19

Достаточность доказывается непосредственно: из двух сформулированных в следствии условий сразу вытекает неравенство (1.5).

Приведем несколько простых примеров проекций на выпуклые множества. Тривиальный пример: выпуклым множеством С служит шар

 

С = {я: II X — х0 |К m < °о},

 

где х0 — фиксированный элемент из

Н. Тогда

проек­

цией Р(х) будет

 

 

 

 

 

.

m (* — .ѵ-р)

если

ИX — х0К^

щ,

Р(х) =

*0І~

II* —*о II

 

 

 

X

 

в противном случае.

 

 

Чтобы убедиться в этом, положим сначала (для упро­

щения выкладок) *о= 0.

Неравенство (1.5) примет вид

Г

nix

1

Г

шх

tnx 1

 

и и ^

Г

ІМ Г ^ ^ Г

11*1’

||*«J’

 

 

где у * II >

in.

Но так

как

т/\\ х || < 1,

достаточно прове­

рить, что

 

 

X, щ

] при

II у I

 

 

[*,

у] <

. т.

Это следует из неравенства Шварца:

 

 

 

[*, у] < || * II

• у у | К т II * II=

[х,

.

Общий случай х0 ф 0 получается из рассмотренного про­ стым переносом начала координат, так как в общем случае проекция элемента х на С + *0 равна сумме ■проекции элемента х — х0 на С и хо.

Другой пример: зададим в пространстве Ь2(а, Ь)4 выпуклое множество

C = {f(-): f ( t ) ^ C q почти всюду},

где Cq — замкнутое подмножество евклидова простран­ ства Eq. Покажем прежде всего, что С замкнуто.

Пусть

{f„( •)} — последовательность из С, сходящаяся

к / (•),

так что

 

ь

J II / (0 — f n (0 II2 d t 0.

Смотрите также файлы