Файл: Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.10.2024
Просмотров: 86
Скачиваний: 0
|
Вероятностные меры на гильбертовом пространстве |
249 |
||||||
который с помощью базиса |
{/zft (■ )} можно переписать |
|||||||
в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
00 |
Т |
|
|
|
|
|
|
|
Л І8ь h k ] J [А*( 0 .К* ( 0 у ] dt = |
|
|
|
|
||||
1 |
о |
|
00 |
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
= |
2 |
[ф /* Ф * ] |
кJ ’ ( О */dt] . ( 0 . |
||
|
|
|
|
1 |
о |
|
|
|
Это показывает, что (5.2) |
и (5.3) |
совпадают |
на |
орто- |
||||
нормальном базисе {ф,;}, а |
в силу линейности и при |
|||||||
всех |
со. Если |
К( - ) действительно |
принадлежит |
|||||
L2(JF, |
[О, Г]), |
то |
ясно, что |
оба |
определения должны |
|||
совпадать. |
|
|
|
|
|
|
|
|
П р и м е р |
5.4. |
Пусть |
Т (t) — сильно |
непрерывная |
||||
полугруппа над гильбертовым пространством Я и ее инфинитезимальный порождающий оператор равен А. Обозначим через В ограниченный линейный оператор,
отображающий гильбертово пространство Я в Я. Ис следуем уравнение
x(t)=Ax(t)-j-Bu(t), 0 < t < T ,
где «(•) может быть производной винеровского про цесса. Следуя обычному подходу, развитому для ко нечномерного случая, рассмотрим уравнение
X (t, а>) = х ( О , с о ) + J*Лх ( s , со ) ds + BW ( t , с о ) , |
( 5 . 4 ) |
о
где W (t, cd) — винеровский процесс, 0 < t < Т и и е Я . Применим наш метод изучения неоднородных уравне ний и преобразуем уравнение (5.4) к окончательному виду
[x{t, со), у] —
t
— [х (0, со), у] Ar J [x(s, со), A'y]ds A-[BW{t, со), г/], 0
250 |
Глава |
5 |
где у — произвольный |
элемент из области определения |
|
оператора А\ Покажем, что |
это уравнение имеет ре |
|
шение |
і |
|
|
|
|
X (t, со) — Т (t) X (0, |
со) + J |
T(t — s) В dW {s, со). |
|
о |
|
Для этого |
сразу |
отметим, |
что |
|
||
|
|
|
|
t |
|
|
[х (0, |
со), г/] + |
J |
[7’(s).v(0, |
со), Л*^/]й5==[Г(0л:(0, а), у]. |
||
|
|
|
о |
|
|
|
Воспользуемся |
нашим представлением для |
интеграла |
||||
|
t |
/ s |
|
|
\ |
|
|
! |
f [Г (s — а) BdW (а, со), A'yjdo ds |
|
|||
|
о |
|
|
|
|
|
и получим |
|
|
|
\ |
|
|
|
00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
Л [®> |
Фаі [ [gk (<*)» В*Т (s — а)*А*у] da |
ds. |
|||
|
1 |
|
о |
|
|
|
Ясно, что суммирование и интегрирование можно поменять местами, в результате чего наш интеграл примет вид
|
t |
/ S |
|
|
J ] [©. Фа] J |
^ J [£Га(сг), |
В*Т (s — а)* А*у] derj ds. |
Заметим теперь, |
что |
|
|
І |
5 |
|
|
J |
J [&а(я)> B*T{s — a)*A*y]dads=* |
||
о |
о |
|
|
|
= j |
( j[*а(<0 , |
ß*7’( s - a ) M * r /] d s j d tr= |
t
= J [gk (<*)> В Т (t — a)y — B'ij]da
|
Вероятностные меры на гильбертовом пространстве |
251 |
|
И п о т о м у |
|
|
|
со |
t S |
|
|
2 |
[и, Фа] J |
J[gk (о), В*Т (s — er)* А"у] da ds = |
|
1 |
О о |
( |
|
|
= |
{ [ T (t - s )B d W (s , CD), у] ds — [BW (t, со) у], |
|
|
|
о |
|
а это и доказывает существование решения. Легко ви деть, что решение непрерывно по / ^ Опри любом со. Пред положим теперь, что существуют два таких решения. Тогда их разность z(t, со) должна удовлетворять урав нению
t
[z{t, со), у] = I [г (s, со), А*у] ds.
о
Но так как функция г(з,со) непрерывна по s, то при любом у из области определения оператора А*
■jf [г (*» а), У\ = [2 (*, со), А*у\.
Положим теперь |
|
|
|
|
|
у (s, со) = T(t — s)z (s, со), |
0 < s < t. |
|
|
Тогда для любого х из области |
определения |
опера |
||
тора |
Л* |
|
|
|
|
-^■[y{s,a),x] = 0, 0 < s < t . |
|
|
|
Так |
как [у (0, со), х] = 0, то [у (ср, со),*] = 0, 0 < |
<р < |
/, или |
|
[z{t, |
со), х] = 0, откуда z(t, co) = 0. |
Поэтому |
решение |
|
исследуемого стохастического уравнения единственно, если потребовать его непрерывность при любых а.
З а д а ч а |
5.8. Положим в рассмотренном только |
|
что примере |
лг (0, со) = |
0 и обозначим |
|
P{t) = |
Е {х (t, а) X (t, а)*). |
Покажите, что для любых х и у из области определе ния оператора А*
-*Г[Р(і)х, y] = [P{t)x, А*у] + [P(t)y, A' x] + [ß'x, В*у].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Приведем лишь минимальный перечень работ. Остальные мож но найти в библиографиях указанных книг.
Выпуклые множества и вопросы анализа
1. Рокафеллар Р. Т., Выпуклый анализ, изд-во «Мир», М., 1973.
2.Данфорд Н. и Шварц Дж. Т., Линейные операторы, т. 1. Общая теория, ИЛ, М., 1962.
3. Kelley J. L, |
Namioka I. and others, Linear topological spaces, |
Van Nostrand, |
1963. |
Теория гильбертовых пространств
4.Гохберг И. Ц. и Крейн М. Г., Теория вольтерровых операторов в гильбертовом пространстве и ее приложения, изд-во «Наука»,
М„ 1967.
5.Рисе Ф. и Секефальви-Надь Б., Лекции по функциональному анализу, ИЛ, М., 1954.
Общие вопросы
6.Hille Е., Methods in classical and functional analysis, Addison-
Wesley, 1971.
7.Иосида К., Функциональный анализ, изд-во «Мир», М., 1967.
8.Хилле Э. и Филлипс Р. С., Функциональный анализ и полугруп пы, ИЛ, М., 1962.
Приложения
9.Карлин С., Математические методы в теории игр, программиро вании и экономике, изд-во «Мир», М., 1964.
10.Ігі М., Network flow, transportation and scheduling, Academic Press, 1969.
11.Балакришнан А. В., Теория связи, изд-во «Мир», М., 1972.
12.Лионе Ж.-Л., Оптимальное управление системами, описываемы ми уравнениями в частных производных, изд-во «Мир», М., 1972.
13.Luenberger D. G., Optimization by vector space methods, John Wiley and Sons, 1969.
14.Портер У., Современные основания общей теории систем, ңзд-во
«Наука», М., 1971.
Список литературы |
253 |
Теория меры в гильбертовом пространстве
15.Гельфанд И. М. и Виленкин Н. Я., Некоторые применения гар монического анализа. Оснащенные гильбертовы пространства (Обобщенные функции, вып. 4), Физматгиз, М., 1961.
16.Parthasarathy К. R., Probability measures on metric spaces, Aca demic Press, 1967.
Обобщенные кривые |
|
17. Young L. C., Calculus of |
variations and optimal control theory, |
W. B. Saunders Company, |
1969. (В изд-ве «Мир» готовится рус |
ский перевод.) |
|