Файл: Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.pdf

мерам, отличным от лебеговых. Это в первую очередь ■относится к случаю вероятностных процессов.

Упорядочим обозначения, которыми мы будем поль­ зоваться в подобных ситуациях. Через L2(Q, р) мы будем обозначать пространство функций /(•). опреде­ ленных на Q и принимающих' значения из некоторого евклидова пространства, $1 — некоторая о-алгебра под­ множеств в Q, а функции / ( •) должны быть измери­ мыми относительно $ и такими, что

J [/(ю), /(«>)] dp < оо,

О

где со — точка множества Q, а р — мера на $ (конечная или сг-конечная). Пространство L2(Q, âS, р) гильбертово относительно скалярного произведения

[f, &] = J U(<*>). g (®)1 du.

Заметим, что в эту схему укладывается и случай, когда множеством Q служит некоторое подмножество /п-мер- ного вещественного евклидова пространства Rm, а р — его лебегова мера.

З а д а ч а 1.1. Пусть Н = Ь2(0, 1). Рассмотрим класс Е функций, обращающихся в нуль на некотором интер­ вале, зависящем, вообще говоря, от функции, но всегда содержащем точку '/г- Показать, что Е — линейное под­ пространство в Н. Замкнуто ли пространство Е?

при фиксированном положительном числе р, замкнуто и ограничено.

Одна из основных особенностей предгильбертовых пространств заключается в том, что в них выполняется

.закон параллелограмма:

Отсюда можно вывести много важных свойств гиль­ бертовых пространств. Отметим, что в уравнении (1.2) в явном виде не фигурирует скалярное произведение. Тем не менее оно, хотя и в скрытой форме, играет здесь центральную роль. В самом деле, всякое норми­ рованное линёйное пространство, в котором выполняется закон параллелограмма, предгильбертово. Соответст­ вующее скалярное произведение задается формулой

[.V, У\ = [х, у\\ + і[х, іу \,

где

[х, у]і = 4 (II* + УII2—IIX —у |р).

Если пространство вещественно, то достаточно только второй формулы.

Начиная с этого места, мы будем рассматривать лишь гильбертовы пространства и будем обозначать их буквой Я.

называется множество попарно ортогональных элемен­ тов единичной нормы. Ортонормальное множество на­ зывается полным, если оно не является собственным подмножеством никакого другого ортонормального мно­ жества.

Очевидно, что только нуль может быть ортогонален ко всем элементам полного ортонормального множества. Пусть {хп} — линейно независимая последовательность. Тогда можно построить такую ортонормальную после­ довательность {уп}, что каждый ее элемент уп есть ли­ нейная комбинация элементов xt, і ^ п . Это делается с помощью процесса Грамма — Шмидта, описанного, например, в [5].

Теперь мы подготовлены к тому, чтобы сформули­ ровать и доказать утверждение, которое, по-видимому, является центральной теоремой существования в теории оптимизации. Но прежде напомним, что множество на­ зывается выпуклым, если прямолинейный отрезок, со­

14 Глава 1

единяющий любые две точки множества, целиком при­

С = {!{•)• /(со )еС £ почти всюду},

где СЕ — выпуклое подмножество евклидова простран­ ства Е, в котором функции / ( • ) принимают значения. Выпуклое множество СЕ может задаваться неравен­ ством:

СЕ = { х ^ Е: q (х) ^ т < оо},

где q (•) — выпуклая вещественная функция, опреде­ ленная на Е. Типичный пример такой функции:

q {х) = У [х, х].

В отличие от приведенного только что поточечного задания выпуклого множества оно может задаваться некоторым глобальным ограничением. Например, пусть q (•) — неотрицательная непрерывная выпуклая функ­ ция, определенная, как и раньше, на Е, а p(f) — функ­ ционал на L2(a, b)q вида

ь

Р (/) = I Р (f 00) dt.

а

Множество функций, на которых функционал p{f) ко­ нечен, выпукло, и в частности выпукло множество

C = {f: / > ( / ) < « < оо}.

При этом С может быть и неограниченным; возьмем,

например, q(x)=Y[x, х].

Легко видеть, что в гильбертовом пространстве любой шар

{х: IIX — х0| К т < оо},

где через || • || обозначена норма этого пространства, является замкнутым выпуклым множеством.

множество гильбертова пространства содержит един­ ственный элемент минимальной нормы.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Пусть С — замкнутое выпуклое множество и

d = inf IIXII, х ^ С .

Тогда очевидно, что можно найти такую последо­ вательность {хп} из С (обычно называемую минимизи­ рующей), что d = lim|U',J. По закону параллелограмма

Хп — хт

= 4 (И*» И2+11*, J 2) — [у*« + у * »

а так как второй член справа представляет собой квад­ рат нормы некоторого элемента из С, то левая часть должна быть меньше

и, следовательно, она сходится к нулю. Это значит, что (хп} — последовательность Коши. А так как С замкнуто, а Н полно, то предел z этой последовательности должен принадлежать С. Более того, из неравенства

из С с нормой d. Тогда снова из закона параллело­ грамма

причем левая часть неотрицательна, так что z { — а2.

Единичный шар в нормированном линейном про­ странстве (т. е. множество элементов, нормы которых не превосходят единицы) называется равномерно вы­ пуклым, если для любой пары (х, у) элементов на гра­ нице этого шара (т. е. элементов единичной нормы),