Файл: Чандрасекхаран, К. Введение в аналитическую теорию чисел.pdf

Начнем

с тождества

f ( X + l ) ~

f (X) =

Г

еЯ‘Тцг

f

+ 1) « g 2nlXu du =

п }

J ^

“ - 1

1

r

с

- * * 1

= \enixu* + 2niXu d u ^ e

с

с

f(X

+ l ) - f ( X ) = e

—JTI. ха

_ . .

х

j emxudu.

C'

Из оценки (5)

ясно, что этот

интеграл сходится. Инте­

оценку (5)

при Х = 0 , мы видим, что

f

enixu‘ du —

j V ,T“'du,

C

Co

где C0 — прямая, параллельная С' и проходящая через

начало координат.

На

прямой Со мы имеем и = г е ш/А

при действительном г. Следовательно,

Jtl

QQ

—яхг2 j

. 4

г

„Шти? .

„ 4

е

е

du =

е

dr = е /х,

с,

и тогда

f{X + l ) - f ( X ) = e

^

/ т.

Итерируя

эту формулу

/п раз, получаем

m -1

+

№ + r n ) - / m = / y S e 1 4

Т ’’

v=0

где m — положительное целое. Отсюда,

заменяя X на

Х + т п—т,

мы получим второе соотношение

/ (X + то) — / (X + то — т) =

т - 1 я Л - L _

U

+ ™ - m + v)*

14

(И )

§ 2. Формула взаимности для обобщенных сумм Гаусса

55

п

т

nt

(X -j-ТП—У)*

g U ixk* +

2 я IX k

^

хп ’1 +

г

1 =

__ £

2п 1 Х п ^

^

k = \

V=1

U-v)M

п

2 n t X k ___j

т

g

n i

e n lxk> +

^

L

т

(12)

=

£ <

V=1

ft= i

Положим в

этом

равенстве X = m j2

и г = m jn,

m > 0,

п > 0 . Тогда

n ili2 —

+ nimft

4- О-

"I")

m

.

, .

л

Y 4

m v n

— у *я »

—

-

1

] е

= / minе 4

2

е

(12')

ft=i

V=1

Далее,

если мы положим m = n = 1,

то получим отсюда

Л =

1 ,

т.

е.

j

e~nt,d t=

1 ,

и, используя подстановку

V т,

где т — положитель­

ное действительное число, приходим к соотношению

со

(13)

В таком случае из (13)

при х = т /п и (12')

мы имеем

n

>nfft* — + nimfc

Vn

2

<?

"

=

ft=i

i

— (i- m n )

m

=

y ,

jiiv n — v*

—-

------- e

—

е

Vm

V=1

У т

v—1

§ 3. Доказательство квадратичного закона взаимности

57

казана в теореме 2 .

мы можем заменить k на k2

Так

как k2= k {m o d 2 ),

в определении ( 1 ) суммы g(m , п)

и записать

N

n ik 2 —

(я + 1)

g (m , n ) =

} ] e

п

k=\

Пусть теперь п — нечетное простое число

и m — не­

которое

целое, взаимно

простое

с

п.

Тогда

мы имеем

п —1 ...

m

,

, ,,

g (m, п)

1 + £ е ” “

~

и + "

* = 1

Если &2 = p (m o d « ), то легко видеть, что

n ik * — (я + 1)

Я/p — ( Л + 1 )

л

л

Но если &2 = p (m od n )

и 1

— 1, то р — квадратич­

ный вычет по модулю п и

(п—k)2= k 2=p(m od п ). Сле­

довательно, если k пробегает целые

1, 2 , ...,

п— 1, то k2

(взятое

по модулю

п)

дважды пробегает

множество

квадратичных вычетов по модулю п. Значит,

g (m ,n )=

1 + 2 % е л‘Р^

{П + 1\

(15)

р

где р пробегает множество квадратичных

вычетов по

модулю нечетного простого п.

Рассмотрим теперь сумму

г-,

я tv

( я + 1 )

2, е

п

р

v