Файл: Чандрасекхаран, К. Введение в аналитическую теорию чисел.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 29.10.2024
Просмотров: 87
Скачиваний: 0
§ 3. Доказательство квадратичного закона взаимности |
59 |
|||
„iv (2 ± l 'j |
у, |
nip (!L±-M |
|
|
g(m, п) = Ъ е |
' n |
'— 2 j |
e ' n >— |
|
= — г 0 |
.п) = ( ~ ) ^ ( 1*n)- |
|
||
Таким образом, мы показали, что если п — нечетное про стое число и (от, п) — 1 , то
|
g(m ,n) |
|
|
g (1 . л). |
|
||
С другой стороны, из теоремы 2 следует, что |
|||||||
*— £(!> п) = е Т<1-Л>£ ( — я. 1 ). |
|||||||
V п |
|
|
|
|
|
|
|
и так как, по определению, g (—n, 1 ) = |
1 , мы имеем |
||||||
|
g - ( l, n ) = / n e T<1-n) . |
|
|||||
Из (18) и (19) мы получаем важную формулу: |
|||||||
SL\ |
1 |
2 |
*(я-1 ) . |
|
|
||
— |
е 4 |
|
g(m ,n). |
|
|||
|
» г у - в |
|
|
|
|
||
где п — нечетное простое число и (от, |
п) = 1 . |
||||||
Если от= — 1, то из (20) |
следует, что |
|
|||||
—1 \ |
1 |
е |
т |
(,,_1) / |
1 |
\ |
|
|
|
= - ^ |
4 |
ff(— 1 |
,л). |
||
|
|
/ и |
|
|
|
|
|
Но, согласно соотношению (2 ), мы имеем |
|||||||
4 г г ( - 1 .Л) = |
|
> * ( - « , - 1 ) = |
(л_ |
||||
V п |
|
|
|
|
|
|
|
поскольку g (— п, |
— 1) = 1. Следовательно, |
||||||
|
, . |
я» , |
, , |
|
я—1 |
|
|
_ |
1 |
|
<П * = (--- 1 ) Я. |
|
|||
(18)
(19)
(20)
(21)
До сих пор мы предполагали, что п — нечетное простое число. Пусть теперь тп также будет нечетным простым.
60 Г л. V. Квадратичный закон взаимности
Тогда из (20) и (2) |
следует, что |
|
|
яг , |
я г ,, |
1— g ( — n,m), |
|
= е 4 |
(п — 1) |
- г (1—ш п ) |
|
п > |
|
|
Ут |
и, снова используя |
(2 0 ), |
мы получаем |
|
J l i (. л —
— e 4
р *1
Но, согласно (21),
—n
m |
- ) |
( - ) |
m |
\tn |
, . |
3 t t . . |
. |
— |
JT t . |
|
|
|
1) |
-j - (1— m n) |
|
( m— 1) / _ n |
) . |
|||
e 4 |
|
e |
4 |
|
'(— |
||
|
|
|
|
|
|
\ tn |
1 |
|
|
m—1 |
, |
|
‘Ш |
|
|
|
|
|
|
|
= |
— (m—1 ) / n |
|
= |
( - ! ) “ |
|
- |
P 4 |
|
||
|
|
|
|
\ m |
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
= |
|
!) (. M = (_ |
1}V •V |
Ij l |
n |
|
m ) |
' |
\ m |
ti \^ |
, то |
|
|
|
и так как |— |
— 1 |
|
|
|
m I |
|
n—1 |
m—1 |
|
|
|
|
||
|
.£ L jp L j = ( _ l)^ |
2 ~ . |
|
|
Тем самым доказательство теоремы 1 завершено.
§ 4. Некоторые приложения. Теорема 1 касалась ве
личины > гДе Р и Я — различные нечетные простые
числа. Для того чтобы определить, будет ли данное чет ное число квадратичным вычетом или невычетом по мо дулю нечетного простого числа, мы должны научиться
вычислять символ Лежандра |
|
j •Это можно сделать, |
||||
используя формулы (2 ) и (2 0 ). |
|
|
|
|
||
Теорема 3. Если р — нечетное простое число, то |
|
|||||
|
|
(Р2—1)/8 |
|
(22) |
||
|
= ( - 1 ) |
|
|
|||
Другими словами, |
|
|
|
|
|
|
2 \ __ | + 1 |
1 если |
р = |
+ |
1 (mod 8 ), |
(23) |
|
р ) 1 — 1 |
, если |
p s |
± |
3(mod8), |
||
|
||||||
|
|
|
§ 4. Некоторые приложения |
|
61 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Согласно формуле (20), мы имеем |
|
||||||||
|
|
/ 2 \ |
1 |
— «Р-1) |
, |
|
|
||
|
|
i t |
) |
|
4 |
g(2,p ) |
|
|
|
|
|
V p |
е |
|
|
|
|
||
и в силу формулы (2 |
) |
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
g(2,p) = e4 |
° |
2р) ——l g { — р,2). |
|
|
|||
|
V р |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Г 2 |
|
|
|
|
Далее, |
из определения g{m , |
п) следует, что |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
тир |
|
|
|
|
|
|
g ( — P, 2 ) = 1 + е 2 . |
|
|
|
|||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Ыр |
|
nip |
|
nip |
nip |
р*—1 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||
|
|
1 |
, в_ ~ + |
«'т |
|
||||
- ) = - -------( 1 + |
е 2 |
) |
( - 1) |
|
|||||
Р I |
] / 2 \ |
|
|
/ |
I/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример. Вычислим, используя теоремы 1 и 3,
/ 12703 ,
I 16361 Г
Здесь оба числа 12703 и 16361 простые. По теореме 1
мы имеем
|
|
|
|
/ 12703 |
\ |
_ |
|
/ 16361 |
\ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
[16361 |
/ |
~ |
|
\12703 |
/' |
|
|
|
|
||
и так как 16361 = 3 6 5 8 (mod 12703), то |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
/ 16361 |
|
\ |
_ |
/ |
3658 |
\ |
|
|
|
||
|
|
|
|
\12703 |
/ |
_ |
\12703 |
у' |
|
|
|
||||
Далее, |
поскольку |
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
, |
то, согласно |
|||
теоремам |
3 и 1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
/ 3658 |
\ |
__ |
/ __2___ \ |
/ 31 |
\ / |
|
59 |
\ |
_ / |
|
31 |
\ |
/ |
59 |
|
\ 12703 |
/ |
_ |
\ 12703 / |
\ 12703 |
/\ 12703 / |
\ 12703 |
/ |
1,12703 |
|||||||
- { - т м - т ) = ( - 1г)(тт)
62 |
Гл. V. Квадратичный закон взаимности |
|
|
|
|
|
|||
Наконец, ввиду того что |
2 2 _ |
2 |
1 |
и |
/ |
3 2 |
= |
1 , |
|
31 |
31 |
1 |
|
— |
|||||
мы получаем |
|
|
|
59 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 . |
|
Замечание. Как мы видели в гл. IV, если р — нечет- |
||||||||
ное |
простое число, то |
/ m \ |
/ т' |
\ |
всех |
целых |
|||
j = |
(— |
для |
|||||||
т'= т ( mod р).
Сдругой стороны, из теоремы 3 мы знаем, что
имеет одно и то же значение для всех простых р, при надлежащих арифметическим прогрессиям 8 /п± 1 или
8от±3.
Теорема 1 может быть использована для доказатель ства более общего результата: если q — фиксированное нечетное простое число, то
|
|
|
|
|
|
|
(24) |
где р' такое простое, |
что p'=p{m odA q) |
|
|||||
Действительно, |
так |
как |
p'==/?(mod 4q) , |
то р '= |
|||
s=p(mod 4) |
и тогда |
~^-(р'— 1 ) = |
1) (mod 2). По |
||||
теореме 1 |
мы имеем |
|
|
|
|
|
|
|
р'—1 9—1 |
Р—1 |
q- |
|
|||
) = ( - ! ) 2 |
‘ 2 |
= ( — 1 ) 2 |
~ |
|
|||
Далее, так как р '= р (mod 4q), |
то p's=p(mod q), откуда |
||||||
~ |
■ Таким |
|
образом, |
|
и |
тем са |
|
мым равенство (24) |
доказано. |
|
|
|
|||